Лекция. Формула Тейлора Предположим, что в некоторой точке имеет место соотношение: (1) Это возможно, так как можно подобрать такое число, чтобы (1) имело место

1-лекция. Формула Тейлора

1. 
   Предположим, что в некоторой точке имеет место соотношение:
   

(1)
Это возможно, так как можно подобрать такое число , чтобы (1) имело место.

2. 
   В правой части (1) положим . Получим функцию:
   

(2)

3. 
   Эта функция удовлетворяет всем требованиям теоремы Ролля:
   

Она непрерывна и дифференцируема на , так как состоит из суммы дифференцируемых функций;
На концах она приннмает равные значения согласно (1) , согласно (4) . Поэтому существует пронзводная и точка, в которой эта пронзводная равна нулю: .
4) Находим производную:
(3)
Легко заметить, что все члены в правой части (3) взаимно уничтожаются за исключением последнего и третьего с конца.
5) Поставляя в производную точку , получим , т.е.
или .
6) Поставим в (1) и заменив , будем иметь:

(4)
форме Лагранжа.
в) Остаточный член в форме Пеано.
Из (4) видно, что остаточный член стремится к нулю при быстрее, чем любой другой. Поэтому (4) можно записать:
(5)
Говорят, что в этой формула Тейлора остаточный член записан в форме Пеано.
Формула Маклорена является частным случаем формулы Тейлора, в которой следует положить :

Формулы Тейлора и Маклорена широко применяются для исследования функций, для их вычисления и других целей.
Примеры.

1. 
   Разложить функцию по формуле Маклорена.
   

2. 
   О вычислении е. Полагаем .
   
3. 
   Также можно вычислять тригонометрические функции, логарифмические и т.д.
   
4. 
   Применяется к вычислениям пределов. Рассмотрим пример.
   

Здесь использовано представление по формуле Маклорена:

Упражнения и задачи для самостоятельной работы
1.Разложить многочлен по степеням
2.Написать формулу (n -порядка) Тейлора функции в окрестности точки .
3.Написать формулу (n -порядка) Маклорена функции
4.Написать формулу (n -порядка) Тейлора функции\quad в окрестности точки .
7.Написать формулу (n -порядка) Тейлора функции в окрестности точки .
8.Написать формулу (2n-порядка) Тейлора функцин в окрестности точки .