Kо‘p о‘zgaruvchili funksiya va uning limiti 10. Kо‘p о‘zgaruvchili funksiya tushunchasi

1-misol. Ushbu

funksiyaning dagi limiti 0 bо‘lishi kо‘rsatilsin.

◄ Koshi ta’rifidan foydalanib topamiz:

son uchun deyilsa,

tengsizlikni qanoatlantiruvchi da

bо‘ladi. Demak,

.►
2-misol. Ushbu

funksiyaning nuqtada limiti mavjud emasligi kо‘rsatilsin.

◄ Ravshanki, bu funksiya

tо‘plamda aniqlangan va nuqta shu tо‘plamning limit nuqtasi.

nuqtaga intiluvchi

ketma-ketliklarni olaylik:

.

hamda nuqtalarda berilgan funksiyaning qiymatlari

bо‘lib,

bо‘ladi. Funksiya limitining Geyne ta’rifidan foydalanib, berilgan funksiyaning da limitga ega emasligini topamiz.►

3-misol. Ushbu

funksiyaning da takroriy limitlari topilsin.

◄Berilgan funksiyaning takroriy limitlarini topamiz:



.

Demak, berilgan funksiyaning nuqtadagi takroriy limitlari bir-biriga teng bо‘lib, ular 0 ga teng.►

4-misol. Ushbu

funksiyaning nuqtadagi takroriy limitlari topilsin.

◄Berilgan funksiyaning takroriy limitlari quyidagicha bо‘ladi:



.

Ayni paytda, berilgan funksiya da limitga (karrali limitga) ega bо‘lmaydi, chunki

ketma-ketliklar uchun

bо‘lib, ular bir-biriga teng emas.►

5-misol. Ushbu

funksiyaning nuqtadagi takroriy limitlari topilsin.

◄Bu funksiya uchun

bо‘lib,

esa mavjud bо‘lmaydi.

Ayni paytda, da berilgan funksiyaning limiti (karrali limiti) mavjud bо‘ladi, chunki

bо‘lib,

bо‘ladi.►

Faraz qilaylik, funksiya fazodagi

tо‘plamda berilgan bо‘lsin.

2-teorema. Agar

1) da funksiyaning limiti (karrali limiti) mavjud va

2) har bir tayinlangan da

(2)

mavjud bо‘lsa, u holda

takroriy limit mavjud va

bо‘ladi.

◄Aytaylik,

bо‘lsin. Limit ta’rifiga binoan, olinganda ham shunday topiladiki, ushbu

tо‘plamning barcha nuqtalari uchun

tengsizlik bajariladi. Keyingi tengsizlikdan, da limitga о‘tib topamiz:

.

Demak,

. (3)

(2) va (3) munosabatlardan

bо‘lishi kelib chiqadi.►

Xuddi shunga о‘xshash quyidagi teorema isbotlanadi.

3-teorema. Agar

1) da funksiyaning limiti (karrali limiti) mavjud va

,

2) har bir tayinlangan da

mavjud bо‘lsa, u holda

takroriy limit mavjud va

bо‘ladi.