Amaliy matematika va informatika kafedrasi

2.1 BIR JINSLI DIFFERENSIAL TENGLAMAR SISTEMASI
O’zgaruvchi koifsentli bir jinsli sistemalar. Differensial tenglamalarning quydagi sistemasi
(27)
o’zgaruvchi koifsentli chiziqli bir jinsli sistema deyiladi. (27) sistemani vector ko’rinishida ham yozish mumkin:
(28)
bu yerda
.
(28) sistemaning ta chiziqli erkli yechimlari chiziqli bir jinsli sistemaning fundamental yechimlari sistemasini tashkil etadi.
Har bir ustunni (28) vektor tenglamaning yechimlaridan iborat bo'lgan
(29)
matritsa shu tenglamaning integral matritsasi yoki fundamental matritsasi deyiladi. Bu matritsa ba'zida Voronskiy matritsasi deb ham yuritiladi. Agar fundamental matritsa biror nuqtada birlik matritsaga teng bo'lsa, ya'ni bo'lsa, u holda matritsa matrisant deyiladi.
(28) matritsani xususiy yechimlaridan tuzilgan
(30)
detiminant Voronskiy detirminanti deyiladi.
Har qnday (28) tenglama fundamental yechimlar sistemasiga ega.
(28) sistemani ixtiyoriy yechimi fundamental sistema yechilarining kombinatsiyasidan iborat bo'ladi.
(28) sistemani ixtiyoriy ta yechimi chiziqli bo'g'liq bo'ladi.
(28) tenglama yechimlari sistemasi fundamental sistema bo'lishi uchun Voronskiy detirminanti biror nuqtada no'ldan farqli bo'lishi zarur va yetarli. Agar (28) tenglama yechimlari sistemasining Voronskiy detirminanti biror nuqtada no'lga teng bo'lsa, u holda u hamma larda no'lga teng bo'ladi. (28) tenglama yechimlari sistemasining Voronskiy ditermenanti uchun Liuvill-Ostrogratskiy fo'rmulasi o'rinli:

Bu yerda
(2) sistemaning umumiy yechimi ko'rinishda topiladi, bu yerda -ixtiyoriiy o'zgarmas vektor.
Misol:
1.1 , tenglamalar sistemasining ,
, yechimlaridan tuzulgan voronskiy detirminantini yozing.
Luivill-Ostogratiskiy fo'rmulasidan foydalnamiz. Bizda
.
Endi va ekanligini hisobga olsak, berilgan sistemaning Voronskiy detirminanti ga teng bo'ladi.
1.2 Ushbu

Chiziqli sistemani bitta yechimni bilgan holda sistemaning umumiy yechimini toping.
-funksiyalar berilgan sistemanning
Boshlang'ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimi bo'lsin. U holda Luivill-Ostogratiskiy fo'rmulasiga binoan

bo'ldi. Bu yerdan . Bu tenglikni hisobga olsak, sistemaning ikkinchi tenglamasidan

tenglik, bo'lganda esa

tenglik kelib chiqadi. Endi ekanligini e'tiborga olib, topamiz:

Demak, sistemaning fundamental matritsasi

va berilgan sistemaning umumiy yechimi , ya'ni , ko'rinishda bo'ladi, bu yerda va -ixtiyoriy o'zgarmaslar.