To’plamlar va ular ustida amallar. Bir o’zgaruvchili funksiya. Murakkab funksiya

4- amaliy mashg`ulot. To’plamlar va ular ustida amallar. Bir o’zgaruvchili funksiya. Murakkab funksiya. Ketma-ketlik va uning limiti. Birinchi va ikkinchi muhim limitlar. Funksiyaning uzluksizligi.
Misollar.
1. va toʻplamlar uchun munosabat oʻrinli.
2. A toʻplam tenglama yechimlaridan tashkil topgan, yaʻni va boʻlsin, u holda A=B munosabat oʻrinli.
3. Х={х,y,z}, Y={y,b,w} boʻlsa, Х Y={х,y,z,b,w} boʻladi.
4. . Х={х,y,z}, Y={a,b,z} boʻlsa, Х∩Y={z} boʻladi.
5. Agar Х={a,b,c,d,e}, Y={b,d,e} boʻlsa, Х\Y={a,c} boʻladi.
6. Agar Х={a,b,c,d,e}, Y={b,d,e,f} boʻlsa, ={a,c,f} boʻladi.
7._. va boʻlsa, C_BA= B\A={9,11}.
8. Х={х,u,y,z}, Y={u,b,w} boʻlsa, Х Y va larni aniqlang.
9. Agar Х={х,y,u,z}, Y={х,y,w,z} boʻlsa, Х Y va Х∩Y larni aniqlang.
10. Х={х,y,z,3}, Y={a,b,z,2,3} boʻlsa, Х∩Y va Х Y larni aniqlang.
11. Agar Х={х,0,y}, Y={х,1,y} boʻlsa, Х∩Y va Х Y larni aniqlang.
12. Agar Х={a,b,c,d,e}, Y={b,d,e,t} boʻlsa, Х\Y ni aniqlang.
13. Х={х,y,z,3}, Y={a,b,z,2,3} boʻlsa, Х\Y va Y\X larni aniqlang.
14. Agar Х={х,0,y}, Y={х,1,y} boʻlsa, va (Х Y)\ Х∩Y ni aniqlang.
15. Agar Х={a,b,c,d,e}, Y={b,d,e,t} boʻlsa, Y\X va Х Y larni aniqlang.
16. Х={1,2,3,7}, Y={a,b,z,2,3} boʻlsa, Х\Y va X∩Y larni aniqlang.
17. Agar Х={-2,0,3}, Y={0,1,5} boʻlsa, va (Х Y)\ Х∩Y ni aniqlang.
18. Quyidagi jumlalarning qaysi biri toʻgʻri?
a) Ratsional son bilan irratsional sonning yigʻindisi irratsional son boʻladi;
b) Ixtiyoriy ratsional son bilan irratsional sonning koʻpaytmasi irratsional son boʻladi;
c) Ikkita irratsional son yigʻindisi irratsional son boʻladi;
d) Ikkita irratsional son koʻpaytmasi irratsional son boʻladi;
19. Quyidagi toʻplamlarning qaysi biri quyidan chegaralangan?
20. Quyidagi sonlardan qaysilari irratsional?
1) a)
2)a )
3) a) 3,8(345); b)
21. Ifodalarni modul belgisiz yozing:
_a) b) d) e)

_Misollar.
1. funksiya berilgan. f(1), f(0), f(-1), topilsin.
2. funksiya berilgan.
Quyidagi qiymatlar topilsin: а) b) d) e) f) .
3. boʻlsa va topilsin.
4. boʻlsa ekani isbotlansin.
5. Quyidagi funksiyalarning aniqlanish sohasi topilsin.
а) ,b) ,d) ,e) ,f) ,g)
6. Quyidagi funksiyalarning grafiklari yasalsin. а) y=2x-3, b) ,.d) , e) , f) , g) , h) , i) , j) .
7. а) y=8, b) , d) , e) , f) , g), funksiyalardan qaysi biri murakkab funksiya.
8. Quyidagi funksiyalardan qaysi birlari juft funksiya. а) , b) , d) , e) , f) , g) , h)
9. Quyidagi funksiyalardan qaysi biri toq funksiya. а) , b) , d) , e) , f) , g) , h) .
10. Quyidagi funksiyalardan davriy boʻlmaganini toping. а) , b) , d) , e) , f) , g)
11. Quyidagi funksiyalardan qaysi birlari oraliqda oʻsadi. а) , b) , d) , e) , f) , g) .
12. Quyidagi funksiyalardan qaysi birlari oraliqda kamayadi.
а) , b) , d) , e) .
13. Quyidagi funksiyalardan qaysi birlari intervalda chegaralangan.
а) , b) , d) , , e) , f) ,g) ,
h) .
Funksiyaning aniqlanish sohasini toping.
15.  16.
17.
18. 19.
20. 21. 
22. 23.
24. 25.
26. 27.
28. 29.
30. Agar  boʻlsa  ni hisoblang.
31. а) b) d) ketma-ketliklarning monotonligi va chegaralanganligi haqida nima deyish mumkin?
32. Limitning ta’rifidan foydalanib quyidagil ar isbotlansin:
а) ; d) .
33. ketma-ketlikning limitga ega emasligini koʻrsating.
34. ekanligini isbotlang . 35. ekanligini isbotlang.
36. funksiya х=0 nuqtada limitga ega emasligini koʻrsating.
Koʻrsatma. Argument х ning 0 ga yaqinlashadigan ikkita va ketma-ketliklarga mos funksiyaning qiymatlari ketma-ketliklari va har xil limitlarga ega ekanligini isbotlang.
37. funksiya da cheksiz kichik funksiya ekanligini koʻrsating.
38. funksiya da cheksiz katta funksiya ekanligini koʻrsating.
39. funksiya da cheksiz katta funksiya ekanligini koʻrsating.
40. funksiya da cheksiz katta funksiya ekanligini koʻrsating.
41. funksiyaning x=0 va x=1 nuqtalardagi bir tomonlama limitlari topilsin
Ketma-ketlik va uning limiti. Limitlar haqida teoremalar.
Misol. .
Misol. .
Teorema. Chekli sondagi limitga ega funksiyalar koʻpaytmasining limiti shu funksiyalar limitlarining koʻpaytmasiga teng, ya’ni
_.
Misol.
.
Misol..
Misol. .
Teorema. Ikkita limitga ega funksiya boʻlinmasining limiti maxrajning limitin oldan farqli boʻlganda, shu funksiyalar limitlarining boʻlinmasiga teng, ya’ni agar boʻlsa, boʻladi.
Misol.. ni toping.
Yechish. . Shuning uchun:
= .
Misol. ni toping.
Yechish. boʻlgani uchun teoremani qoʻllab boʻlmaydi. Suratning limiti boʻlgani uchun berilgan ifodaning teskarisining limitini topamiz: =
Bundan kelib chiqadi, chunki cheksiz kichik funksiyaga teskari funksiya cheksiz katta funksiya boʻladi.
Misol. isbotlansin.

Yechish. Radiusi 1 ga teng aylanani qaraymiz. 7-chizmadan: x>0 bo‘lsa ; АС= , =х (markaziy burchak oʻzi tiralgan yoy bilan oʻlchanadi), AC< yoki <x ekani ayon boʻladi. x<0 boʻlganda | |<|x| boʻlishi ravshan.

7-chizma.

Shunday qilib x>0 uchun 0< <x va x<0 uchun 0<| |<|x| tengsizliklarga ega boʻldik.
ekanligini hisobga olsak ekanligi kelib chiqadi.
Misol. isbotlansin.
Yechish. ekani ravshan.
boʻlgani uchun teoremaga binoan yoki
kelib chiqadi.
Misol. ekanligi isbotlansin.
Yechish. yoki ekanligini e`tiborga olsak
= hosil boʻladi.
Birinchi va ikkinchi muhim limitlar. Funksiyaning nuqtadagi uzluksizligi. Funksiyaning uzilish nuqtasi va turlari. Uzluksiz funksiyalar ustida amallar
Misol. = = = = .
Misol._. = =m =m1=m. (m-oʻzgarmas son).
Misol. = = = .