4-ma’ruza Chiziqli tenglamalar sistemalari

4-ma’ruza
Chiziqli tenglamalar sistemalari.

Reja
1. Chiziqli tenglamalar sistemalari. Asosiy tushunchalar va ta’riflar.

2. n ta noma’lumli n ta chiziqli tenglamalar sistemasi. Kramer formulalari.
3. Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning teskari matritsa usuli.
4. Gauss usuli.
Tayanch so‘z va iboralar: Chiziqli tenglamalar sistemasi, sistemaning asosiy matritsasi, kengaytirilgan matritsa, sistemaning yechimi, birgalikda bo’lgan va birgalikda bo’lmagan sistima, aniq va aniqmas sistema, sistemaning umumiy yechimi, Kramer formulasi, teskari matritsa usuli, Gauss usuli.


Chiziqli tenglamalar sistemasi. Asosiy tushunchalar va ta’riflar.
ta noma’lumli ta chiziqli tenglamalar sistemasi deb quyidagi ko’rinishdagi sistemaga aytiladi:
(1)
bu yerda sonlar sistemaning koeffisientlari deb, – sonlar esa ozod xadlari deb ataladi.
(1) sistemani matritsaviy tenglama ko’rinishida yosish mumkin:
,
bu yerda
, , .
sistemaning asosiy matritsasi, o’zgaruvchilarning ustun-matritsasi; ozod xadlarning ustun-matritsasi deb ataladi.
Agar bo’lsa, u holda sistema bir jinsli, aks holda bir jinsli bo’lmagan sistema deb ataladi.
Sistemaning yechimi deb, matritsaviy tenglamani tenglikka aylantiruvchi xar qanday komponentli ustun-vectorga aytiladi.
Kamida bitta yechimga ega bo’lgan sistema birgalikda deb, aks holda birgalikda bo’lmagan sistima deb ataladi.
Bir jinsli sistema har doim birgalikda bo’ladi, chunki trivial yechim uning yechimi bo’ladi.
Birgalikda bo’lgan sistima aniq sistema deyiladi, agar u yagona yechimga ega bo’lsa, aks holda aniqmas sistema deb ataladi.
Oxirgi holda, ya’ni sistema aniqmas bo’lsa, uning har bir yechimi xususiy yechim deb, barcha yechimlari to’plami esa sistemaning umumiy yechimi deb ataladi.
Agar ikkita sistema yechimlari to’plami ustma-ust tushsa, ular ekvivalent sistemalar deb ataladi.
Sistemaning asosiy matritsasini ozod xadlardan tuzilgan ustun bilan to’ldirilgan matritsaga sistemaning kengaytirilgan matritsasi deb ataladi:
.
ta noma’lumli ta chiziqli tenglamalar sistemasi. Teskari matritsa usuli va Kramer formulalari. Gаuss usuli.
(1) sistemasining tenglamalari soni noma’lumlar soniga teng bo’lsin, ya’ni bo’lsin.
(2)
Bu holda sistemaning matritsasi kvadrat matritsa bo’ladi va uning determinanti sistemaning determinanti deb ataladi.
(2) sistemaning umumiy yechimini toppish uchun, sistemaning kvadrat matritsasi xosmas bo’lsin deb, ya’ni uning determinant deb faraz qilamiz. Bu holda teskari matritsa mavjud bo’ladi.
(3)
matritsaviy tenglamani ikkala tomonini chapdan matritsaga ko’paytiramiz:
U holda tenglik o’rinli bo’lganidan, sistemaning yechimi quyidagiga teng bo’ladi:
(4)
Kramer teoremasi. Aytaylik, (2) sistemaning determinanti bo’lsin, lar bo’lsa determinantdan i-ustunni ozod xadlar bilan almashnirishdan hosil bo’lgan determinantlar bo’lsin. U holda, agar bo’lsa sistema yagona yechimga rga bo’ladi va bu yechim quyidagi Kramer formulalari yordamida topiladi:
(5)