Amaliy matematika va informatika kafedrasi

O’rniga qo’yish usuli (Bernuli usuli) doir:
2.4 tenglamani yeching.
Bu tenglamani o’rniga qo’yish usuli bilan ishlaymiz. deylik, u holda berilgan tenglama ko’rinishiga keladi.
tenglamaning umumiy yechimini topamiz: .
Yuqorida aytilganidek, xususiy yechim bilan cheklanish mumkin. ning ifodasini almashtiriladigan tenglamaga qo’yamiz: yoki
, bu yerdan . Endi umumiy yechimni yoza olamiz: bo’lgani uchun umumiy yechim ko’rinishida bo’ladi.
1.3 O’ZGARMAS KOIFISENTLI CHIZIQLI DIFFERENSIAL TENGLAMA
n-tartibli chiziqli tenglamalar. O’zgarmas koifsentli chiziqli bir jinsli
(14)
tenglamani yechish uchun
(15)
Xarakteristik tenglamani tuzish va uning ildizlarini topish kerak.
Agar ildiz (15) xaraktiristik tenglamaning oddiy ildizi bo’lsa, u holda (14) tenglamaning bu ildiziga mos kelgan umumiy yechimi ko’rinishda bo’ladi. Agar ildiz (15) tenglamaning karrali ildizga ega bo’lsa, u holda (14) tenglamaning ildiziga mos kelgan umumiy yechimi
(16)
ko’rinishda bo’ladi. Bu yerda barcha - ixtiyoriy o’zgarmaslar. (14) tenglamaning koifisentlari va ildizlari haqiyqiy yoki kompleks bo’lishi mumkin
Agar (14) tenglamaning hamma koifisentlari haqiyqiy bo’lsa, u holda ildizlar kompleks bo’lgan holda ham yechimini haqiyqiy ko’rinishda yozish mumkin. Haqiqatdan ham, agar bu kompleks ildiz (15) tenglamaning oddiy ildizi bo’lsa, u holda kompleks qo’shma ildizlarning har biri juftiga

Umumiy yechim mos keladi, bu yerda -ixtiyoriy haqiyqiy sonlar. Agar bu kompleks ildiz (15) tenglamaning karrali ildizi bo’lsa, u holda kompleks qo’shimcha ildizlarining har bir juftiga

Umumiy yechim mos keladi. Bu yerda va - -darajali ko’phadlar bo’lib, ularning koifsentlari ixtiyoriy haqiyqiy sonlardir.
Misol:
3.1 Tenglamani yeching va boshlang’ich shart berilgan hollarda xususiy yechimlarini toping

Xarektiristik tenglamasini tuzamiz: . Uning ildizlari va . ildizga , ildizga esa xususiy yechimlari mos keladi. Bu yechimlarni ixtiyoriy chiziqlar kombinatsiyasi berilgan tenglamani umumiy yechimi bo’ladi.
3.2 Tenglamani yeching va boshlang’ich shart berilgan hollarda xususiy yechimlarini toping
, , .
Berilgan differensial tenglamaga mos kelgan xaraktiristik tenglama va ildizlarga ega, shuning ushun dastlabki tenglamani umumiy yechimi ko’rinishda bo’ladi.
Berilgan boshlang’ich shartlarni qanoatlantiruvchi xususiy yechimini topish uchun umumiy yechimdan hosila olamiz: bo’ladi. So’ngra umumiy yechimning ifodasini ifodasida o’rniga mos ravishda ularning qiymatlarini qo’yamiz: bundan qiymatlarni olamiz. Izlanayotgan xusisiy yechim ko’rinishda topiladi.
3.3 Tenglamani yeching va boshlang’ich shart berilgan hollarda xususiy yechimlarini toping
.
Berilgan differensial tenglamaga mos kelgan xarakteristik tenglama va , ildizga ega. haqiyqiy
ildizga mos kelgan umumiy yechimi , kompleks qo’shima ildizlariga mos keladigan umumiy yechim esa
ko’rinishda bo’ladi.
Shunday qilib, dastlabki tenglamaning umumiy yechimini yoza olamiz: