Amaliy matematika va informatika kafedrasi

O’zgarmasni variatsalash usuli doir:
2.1 Tenglamani yeching:
. (11)
Avvalo berilgan tenglamaga mos kelgan

bir jinsli tenglamani umumiy yechimini topamiz:

Berilgan (11) chiziqli tenglamani yechish uchun formulada o’zgarmasni varyatsalaymiz, ya’ni deb olamiz, va

funksiyadan (11) tenglamani qanoatlantirishini talab qilamiz:
,
Ya’ni . Bundan kelib chiqadi, bu yerda
yangi ixtiyoriy o’zgarmas. ni topish ifodasi fo’rmulaga qo’yib, dastlabki berilgan (11) chiziqli tenglamani umumiy yechimini topamiz:

2.2 tenglamaning shu nuqtadan o’tuvchi yechimini toping.
funksiya berilgan tenglamani yechimi emasligi aniq, shuning uchun tenglamani ko’rinshda yozib olamiz. Bu chiziqli tenglamaga mos
kelgan bir jinsli tenglamani yechamiz. Uning umumumiy yechimi bo’ladi. Ixtiyoriy o’zgarmasni variyatsalash usulini qo’llaymiz. Natijada tenglikka ega bo’lamiz. Bu yerdan ni topamiz: .
Shunday qilib, berilgan tenglamaning umumiy yechimi ko’rinishda topiladi.
Endi tenglamaning nuqtadan o’tadigan yechimini topamiz. Buning
uchun umumiy yechimni topilgan fo’rmulasida , deb olib, ni topamiz. U xolda , ya’ni xusisiy yechim topiladi.
2.3 birnchi tartibli chiziqli differensial tenglamaning ikkita va yechimlari berilgan. Shu yechimlardan yechimlar yordamida tenglamaning umumiy yechimini yozing.
Ma’lumki, chiziqli differensial tenglama
(12)
umumiy yechimga ega, bu yerda

Masalaning shartiga ko’ra, (12) dan
(13)
kelib chiqadi, bu yerdan va -chiziqli tenglamalarning va yechimlariga mos kelgan o’zgarmaslar. So’ngra, (13) tengliklardan foydalanib, va funksiyalrini va yechimlar oraliqda ifodalaymiz:
,
va funksiyalarning ifodalarini (12) ga qo’yib, topamiz:

bu yerda - ixtiyoriy o’zgarmas.