Amaliy matematika va informatika kafedrasi

O’zgarmasni variyatsalash usuli. O’zgarmas koifsentli chiziqli bir jinsli bo’lmagan (17) tenglamaning o’ng tomoni biror kesmada uzluksiz bo’lgan ixtiyoriy funksiya bo’lsin. Bunday tenglama o’garmaslarni variatsalash usuli bilan yechiladi. Bir jinsli (17) tenglamaga mos (18) bir jinsli tenglamaning
(24)
umumiy yechim topilgan bo’lsin. U holda (14) tenglamaning yechimi
(25)
ko’rinishda izlanadi. (25) funksiyani (17) tenglamaga qo’yib, funksiyalarga nisbatan chiziqli algebraik tenglamalar sistemasiga ega bo’lamiz:
(26)
(26) sistemaning yechimi bo’lsin bularni integrallab funksiyasini topamiz.
Misol:
3.6 O’zgarmaslarni variatsalash yordamida quyidagi tenglamani yechimini toping
.
Avvalo

bir jinsli tenglama yechimini yozaniz:
.
Bizning holda , . umumiy yechimda o’zgarmaslarni variatsalash, ya’ni uni

ko’rinishda yozob olamiz.
va funksiyalarni aniqlash uchun (13) sistemani tuzamiz :

Bu sistemani yechib, va funksiyalarga nisbatan

differensial tenglamalarga ega bo’lamiz. Bu yerdan topamiz:
,
.
Olingan natijani fo’rmulaga qo’yib, tenglamani umumiy yechimiga ega bo’lamiz: .
3.7 Tenglamani yeching
.
Berilgan tenglamani bir jinsli qismini umumiy yechimini yozamiz:

Bizning holda , va . Umumiy yechimdagi o’zgarmaslarni variatsalaymiz, ya’ni uni

ko’rinishda yozib olamiz. , va funksiyalarni aniqlash uchun
(26) ga mos sistema tuzamiz :

Bu sistmani yechib, topamiz:
va .
Bu differnsial tenglamni integrallaymiz:
,
, .
Olingan natija yordamida berilgan tenglamaning umumiy yechimini yozamiz:

BOB. DIFFERENSIAL TENGLAMALAR SISTEMASINI HOLAT TEKISLIGI