Amaliy matematika va informatika kafedrasi

O'zgarmasni variatsalash usuli.

ko'rinishdagi tenglamalar sistemasi yoki
(33)
vektor tenglama bir jinsli bo'lmagan o'zgaruvchi koeffitsentli chiziqli differensial tenglamalar sistemasi deyiladi. Bunga mos keladigan bir jinsli sistema
(34)
yoki
(35)
vektor ko'rinishda bo'ladi. O'zgarmasni variatsalash usulini ikki xil tarzda
qo'llash mumkin.
1) (34) ko'rinishidagi bir jinsli tenglamalar sistemasining
(36)
umumiy yechimni topilgan bo'lsin. (31) sistemaning umumiy yechimi
(37)
ko'rinishda izlanadi. (37) fo'rmuladagi funksiyalarni topish kerak

tenglamalar sistemasini yeshish kerak.
2) (31) va (34) vektor tenglamaning umumiy yechimlari, mos ravishda,
(38)
(39)
ko'rinishda bo'ladi, bu yerda (34) tenglamaning fundamental matritsasi,
- ixtiyoriy o'zgarmas vektor, esa (33) tenglamaning biror xususiy yechimi (vektor-funksiya).
Agar (35) tenglamaning fundamental yechimi ma'lum bo'lsa, u holda (33) tenglamaning xususiy yechimi ixtiyoriy o'zgarmas vektorini variatsalash usulida topish mumkin. Bu vektor
(40)
tenglamani qanoatlantiradi. bo'lgani uchun har doim teskari matritsasi mavjud va bo'ladi. Bundan
, (41)
bu yerda -ixtiyoriy o'zgarmas vektor. (41)ni (38) ga qo'yib, topamiz:
. (42)
Endi (39) va (37) munosabatdan

ekanligini ko'rish qiyin emas.
Misol:
2.3 Tenglamalar sistemasini yeching:
.
Berilgan tenglama sistemasiga mos

bir jinsli sistemani umumiy yechimini

ko'rinishda topish qiyin emas, bu yerda
,
-( ) bir jinsli sistemani fundamental sistemasi.
Endi fundamental matritsaga teskari bo'lgan

matritsani topamiz. Shartga ko'ra, , ya'ni

bo'lishi kerak. Bu oxrigi sistemani yechib, matritsani yozamiz:
.
Dastlabki bir jinsli bo'lmagan sistemanimg xususiy yechimini topish maqsadida

ifodani integrallaymiz:

va xususiy yechimni yozamiz:
.
Shunday qilib, berilgan bir jinsli bo'lmagan sistemaning umumiy yechimi
,
ya'ni

ko'rinishda topiladi.