Amaliy matematika va informatika kafedrasi

Kurs ishining dorzalbligi: Kurs ishi mavzusi matematik fizika tenglamalari fanida muhim o`rin tutgan bo‘lib chiziqli o’zgarmas koeffitsentli bir jinsli sistemaning holatlar tekisligi tadbig‘iga bag‘ishlangan. Talabalar bunday masalarni yechish orqali matematik fizika maslalarining doirasi nihoyatda keng bo‘lib, ular turli fizik, mexanik, texnik va boshqa jarayonlarni o‘rganish bilan uzviy bog‘iqligini tushunadilar. O‘rganilayotgan fizik jarayonlar uchun qo‘yilgan masalalarning to'g'ri yoki noto'g'ri qo‘yilmaganini tekshirish orqali talabalar fizik jarayonlar haqida ko‘proq ma’lumotga ega bo‘la oladilar. Ko‘p talabalar bunday masalalarni yechishga qiynaladilar. Buning sababi bunday masalalar mantiqiy fikrlashni, mavzu yuzasidan bilimlarni talab qiladi. Mazkur kurs ishi mavzuning xuddi shu jihatlarni yoritishga qaratilganligi, qolaversa bir qancha fizik hodisa va jarayonlarning aniq matematik modelini tuzishda hamda uni yechishda qo‘l kelganligi bilan dolzarb hisoblanadi.
Kurs ishining maqsad va vazifalari: Matematika inson faoliyatining barcha jabhalarida qo’llanilishi mumkin bo’lgan unversialdir.Matematika biror sohaga tadbiq qilinadigan bo’lsa, u bu sohaga shu qadar kirib ketadiki, natijada matematikaning yoki tadbiq qilayotgan faninggizni yoki yangi fan kelib chiqdimi bilmay qolasiz-hozirgi fan rivojlanishi ana shunda.
Kurs ishining maqsadi va vazifasi differensial tenglamalar, differensial tenglamalar sistemasi, holat tekisligini o‘rganish va uning tadbiqlarini o’rganishdan iborat.
Kurs ishi tuzilishi va hajmi. Kurs ishi kirish, 2 bob, xulosa va foydalanilgan adabiyotlardan iborat.


BOB. CHIZIQLI O’ZGARMAS KOIFSENTLI DIFFERENSIAL TENGLAMALAR

1. 
   BIRINCHI TARTIBLI DIFFERANSIAL TENGLAMAR
   

Birinchi tartibli differensial tenglama quydagi

ko’rinishda bo’ladi.
Bu yerda x-erkli o’zgaruvchi, x argumentning no’malum funksiyasi , esa va o’zgaruvchining berilgan funksiyasi.
tenglama hosilaga nisbatan yechilmagan differensial tenglama deyiladi. Odatda tenglamani hosilaga nisbatan yechiladigan tenglama

ko’rinishda yoki differensiallar ishtirok etgan tenglama

ko’rinishda yozib olishga harakat qilinadi.
Biror I intervalda aniqlangan, uzluksiz differensialanuvchi va berilgan
differensial tenglamani qanoatlantiradigan har qanday
funksya, ya’ni tenglamada ni va uning hosilalarini va uning tegishli hossalari bilan almashtirilganda berilgan tenglamani ayniyatga aylantiradigan funksiya differensial tenglamaning yechimi deyiladi:
.
Agar tenglamaning yechimi oshkormas ko’rinishda topilgan bo’lsa, munsabat tenglamaning integrali deyiladi.
Xosilaga nisbatan yechiladigan ( ) differensial tenglamaning har bir yechimga mos kelgan egri chiziq (ya’ni funksiya grafigi) shu tenglamaning integral egri chizig’i (yoki sodda qilib, integral chizig’i) deyiladi.
tenglama yechimining grafigi shu tenglamaning integral egri chizig’i, yechim grafigining ordinatalar o’qiga proyeksasi esa differensial tenglamaning fazoviy egri chizig’i (yoki trektoryasi) deyiladi.
Birinchi tartibli differensial tenglamaning ummumiy yechimi deb, ixtiyoriy o’zgarmas miqdorga bo’g’liq bo’lgan hamda quydagi shartlarni qanoatlantiruvchi funksyaga aytiladi :

1. 
   va differensial tenglamaning ixtiyoriy yechimi dan o’zgarmas miqdorning aniq bir qiymatida kelib chiqadi;
   
2. 
   boshlang’ich shart berilganda tenglama o’zgarmasga nisbatan yechiladigan yagona yechimga ega .
   

Umumiy yechimini oshkormas holda ifodalovchi munosabat mos ravishda differendsial tenglamaning umumiy integrali deyiladi.
Misol:
1.1 funksiya tenglamani yechimi ekanini ko’rsating.
funksiya va u funksiyadan hosila olib ifodalrni tenglamaga qo’yib,

ayniyatni hosil qilamiz. Demak, berilgan tenglama ko’rsatilgan tenglamaning yechimi bo’ladi.

2. 
   Ushbu
   

funksiya

Birinchi tartibli differensial tenglamaning intervelda yechimi ekanini ko’rsating.
Berilgan funksiya intervalda uzluksiz differensiallanuvchi, chunki uning hosilasi shu intervalda uzluksiz:

Endi bo‘lganda berilgan tenglama intervalda ayniyatga aylanishini tekshiramiz:


Demak, berilgan funksiya berilgan tenglamani intervalda yechimi.

3. 
   Differensial tenglamani yeching
   

.
Tenglamada deymiz va uni quyidagi ko‘rinishga keltiramiz:
.
Bu tenglamaning har ikkala tomonini ga bo’lib, o‘zgaruvchilarni ajratamiz va integrallashlarni bajarib, yechimni topamiz:


.
Demak, barcha yechimlar majmuosi ( va oraliqlarda)
fo’rmula bilan ifodalaniladi; bunda -ixtiyoriy son.

4. 
   Differensial tenglamani yeching
   

Tenglamani ikki tomoniga ga ko’paytirib , o’zgartiruvchilarini ajratamiz va integrallashni bajaramiz:

.
Yechimni oshkormas funksya ko’rinishda topdik bu oshkormas funksyadan:

yechimni olamiz.

5. 
   Ushbu
   

differensial tenglamani yeching.
Yechish: Bu o‘zgaruvchilari ajraladigan tenglama. O’zgaruvchilarini ajratish uchun uning har ikkala tomonini ga bo’lamiz:

Bundan

Lekin

Shuning uchun



.
Biz tenglamani ga bo’lganda va yo’qotishimiz mumkin edi. Lekin yechim da hosil bo’ladi, yechim esa unda hosil bo’lmaydi. Shunday qilib javob:
( -ixtiyoriy o’zgarmas).