Yechish desak, kelib chiqadi. Demak, kelib chiqadi. Misol

8-mavzu: Murakkab funksiyaning hosilasini, yuqori tartibli hosilalarni hisoblash. Funksiya differensiali va uni taqribiy hisoblashlarga qo’llanilishi.

Misol. funksiyaning hosilasi topilsin.

Yechish. desak, kelib chiqadi. Demak,

kelib chiqadi.

Misol. funksiyani hosilasi topilsin.

Yechish. .

Misol.

Yechish. (4) ga asosan

.

Misol. taqriban hisoblansin.

Yechish. , deb, (3) formulaga asosan quyidagini olamiz:

demak,

Misol. taqriban hisoblang.

Yechish. (4) ga asosan

demak,

Misol. y=a₀xⁿ+a₁x^n-1+…+a_n-1x+a_n bo‘lsa,

y=na₀x^n-1+(n-1)a_nx^n-2+…+a_n-1 ,

- - - - - - - - - - - - - - - - - - -

y⁽ⁿ⁾=n^.(n–1)^.…^.2^.1^. a₀=a₀ n! ,

y⁽ⁿ⁺¹⁾=y⁽ⁿ⁺²⁾=…=0 .

Demak, n – darajali ko‘phadning n – tartibli hosilasi o‘zgarmas son bo‘lib, (n+1)- tartibli hosilasidan boshlab yuqori tartibli hosilalarining barchasi nolga teng bo‘lar ekan.

Misol.f(x)=e^kx , k – o‘zgarmas (k0).

f(x)=e^kx(kx) =ke^kx;

f (x)=(f(x)) =(ke^kx) =k(e^kx) =k^.ke^kx=k²e^kx

va hokazo,

f⁽ⁿ⁾(x)=kⁿe^kx

ni olamiz. Demak,

(e^kx)⁽ⁿ⁾= kⁿe^kx, nN

Misol.f(x)=sinx.f(x)=cosx=sin(x+ ),

f(x)=(f(x)) =(sin(x+ )) =cos(x+ )^.1=sin(x+),

- - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - -

f⁽ⁿ⁾(x)=sin(x+n^. ),

ya’ni (sinx)⁽ⁿ⁾=sin(x+n^. ), nN

Misol.f(x)=cosx.

Yuqoridagiga o‘xshash,

(cos x)⁽ⁿ⁾=cos(x+n^. ), nN

ni olish mumkin.

Misol.f(x)=uv, bu yerda u va v lar ixtiyoriy tartibli hosilalari mavjud funksiyalardir.

(u^.v) =uv+uv

(uv) =(uv+uv) =uv+uv+uv+uv=uv+ 2uv+uv

va hokazo.

ni olish mumkin. Bu Leybnis formulasi deb yuritiladi. Bu yerda nolinchi tartibli hosila funksiyaning o‘zi ekanligini eslash lozim.

Misol. taqriban hisoblansin.

Yechish. , deb, (3) formulaga asosan quyidagini olamiz:

demak,

Mustaqil yechish uchun misollar

1. Quyidagi funksiyalarning hosilasini logarifmik diffеrеnsiallash yordamida toping.

a) b) c)

2. funksiya uchun ni hisoblang.

3. Quyidagi oshkormas funksiyalarning hosilasini toping.

a) . b) . c) .

d) . e) xy² - 6x + 5y = 0 f ) .

4.Quyidagi funksiyalardan ni toping

a) , b) , c) , .

5. , va larni toping.

6. , toping. 7. , i toping. 8. , toping.

9. Quyidagi funksiyalarning hosilasini toping.

a) b) c)

d) e) f )

10. Quyidagi funksiyalarning diffеrеnsialini toping.

a) b) c) d)

11. Quyidagi funksiyalarning ikkinchi tartibli hosilasini toping.

a) b) c)117. d) .

12. funksiyaning n-tartibli hosilasini toping.

13. Agar bo`lsa, larni toping.

14. Quyidagi ifodalarning taqribiy qiymatini toping.

a) b) . c)