Murakkab funksiyaning hosilasi. Oshkormas funksiyaning hosilasi

Murakkab funksiyaning hosilasi. Oshkormas funksiyaning hosilasi.

Reja

1. Murakkab funksiyaning hosilasi

hosilasini

topishga

• Oshkormas funksiyaning hosilasi
• Murakab va oshkormas funksiyalarning na’munalar

Bajardi:

Barxinboyev Akmal

Agar: 1) funksiya biror nuqtada hosilaga

ega; 2) funksiya esa tegishli nuqtada

hosilaga ega bo’lsa, u holda murakkab funksiya ham nuqtada hosilaga ega va bu hosila va funksiyalar hosilalarining ko’paytmasiga tengdir: Ya’ni,

[ ( )] ( ) yoki qisqacha

ko’rinishda yoziladi.

ko’rinishdagi funksiyaning hosilasini topish uchun

darajali funksiyani yoki ko’rsatkichli funksiyaning hosilasini topish formulasini qo’llab bo’lmaydi. Chunki bu funksiyaning asosi ham, daraja ko’rsatkichi ham x o’zgaruvchininng funksiyasidir. Shuning uchun berilgan funksiyaning hosilasini topish uchun tenglikning har ikkala qismini asosga ko’ra logarifmlaymiz va

ni hosil qilamiz. ni ning murakkab funksiyasi sifatida qarab oxirgi tenglikning har ikkala qismidan hosila olamiz:

. Bu tenglikdan ni topamiz:

* + *

+

Agar: 1) funksiya nuqtada chekli va noldan farqli

hosilaga ega; 2) bu funksiya uchun nuqtada

uzluksiz teskari funksiya mavjud bo’lsa, u holda teskari funksiya

uchun nuqtada

ga teng hosila mavjud bo’ladi,

ya’ni

.

Buni boshqacha

ko’rinishda yozish ham mumkin.

Agar va o’zgaruvchilar orasidagi bog’lanish bevosita emas,balki

uchinchi bir

,

o’zgaruvchi yordamida biror va , funksiyalar orqali bevosita berilgan bo’lsa, unda

argumentning funksiyasi parametrik ko’rinishda berilgan funksiya, esa parametr deyiladi.

Masalan, , , parametrik ko’rinishda bevosita berilgan funksiya , , ko’rinishdagi bevosita berilgan funksiyani ifodalaydi.

Parametrik ko’rinishda berilgan funksiyani bo’yicha hosilasini topish uchun dastlab uni ko’rinishda yozib, so’ngra uning hosilasini topish mumkin.Ammo har doim ham bu usul qulay bo’lmaydi, chunki parametrik shaklda berilgan funksiyani ko’rinishda yozish qiyin, yoki funksiya ko’rinishi juda murakkab bo’lib, undan hosila olish noqulay bo’lishi mumkin. Shu sababli parametrik ko’rinishda berilgan funksiyaning hosilasi to’g’ridan-to’g’ri va funksiyalar orqali

'

f '

formula yordamida topiladi.

Agar erkli o’zgaruvchi va funksiya orasidagi bog’lanish

tenglama bilan berilgan bo’lsa, u holda ni ning oshkormas funksiyasi deyiladi.

tenglama ga nisbatan echilmagan bo’lsa ham, dan bo’yicha hosila olish mumkin. Buning uchun ning har ikkala qismidan ni ning funksiyasi deb qarab, bo’yicha hosila olinadi va hosil qilingan tenglamadan topiladi. Uni quyadagicha yozish mumkin:

f '

yx   x .

y

Matematik analizning ko’plab tadbiqlarida va

ko’rsatkichli funnksiyalardan tuzilgan va

funksiyalar uchraydi. Bunday funksiyalarga yangi funksiyalar sifatida qaraladi va quyidagicha belgilanadi.

s ,

Bulardan birinchisi giperbolik sinus, ikkinchisi esa giperbolik kosinus

deb ataladi. Bu funksiyalar yordamida yana ikkita va

funksiyalar aniqlanadi. Ular:

- giperbolik tangens va - giperbolik

kotangens deb ataladi.

funksiyalar ning har qanday qiymatlarida aniqlangan.

funksiya esa nuqtadan farqli har qanday nuqtalarda aniqlangan.

Giperbolik funksiyalar orasida quyidagi munosabatlar o’rinlidir.

;

;

;

.

va larning va lar orqali ifodalaridan hosila olib quyidagilarni hosil qilamiz:

, ,

, .