Amaliy matematika va informatika kafedrasi

Aniqmas koifsentlar usuli. O’zgarmas koifsenti chiziqli bir jinsli bo’lmagan
(17)
tenglama berilgan bo’lsin, bu yerda -ma’lum funksiya. Bir jinsli bo’lmagan tenglamaning umumiy yechimini aniqlash uchun avvalo (17) tenglamaga mos bir jinsli
(18)
tenglamaning umumiy yechim topib, songra bir jinsli bo’lmagan (17) tenglamaning bitta xususiy yechimini topish kerek. umumiy va xususiy yechimlarining yig’indisi aynan bir jinsli bo’lmagan (17) tenglamaning umumiy yechimini ifodalaydi. (17) tenglamaning xususiy yechimini topish bilann shug’illanamiz.
Agar o’zgarmas koifsentli chiziqli bir jinsli bo’lmagan tenglamaning o’ng tomoni , , funksiyalarning ko’paytmalari va yig’indilaridan iborat bo’lsa, u holda bir jinsli bo’lmagan tengalmaning xususiy yechimini aniqmas koifsentlar usuli yordamida topish mumkin.
Agar tenglamaning o’ng tomoni ko’rinishida bo’lsa, u holda xususiy yechim
(19)
ko’rinishda bo’ladi, bu yerda - -darajali va koifsentlari hozircha ixtiyoriy bo’lgan ko’pxad. Agar soni
(20)
xarakteristik tenglamaning ildizi bo’lmasa, ya’ni u birorta ham ga teng bo’lmasa, u holda (19) formulada deb olinadi. ko’pxadning koifsentlarni aniqlash uchun (19) yechimni (14) tenglamaga qo’yib, chap va
o’ng tomonlarida o’xshash hadlar oldidagi koifsentlarni bir-biriga tenglash kerak.
Agar tenglamaning o’ng tomonida sinus va kosinus qatnashsa, u holda ularni Eyler fo’rmulaleri
, (21)
yordamida ko’rsatkichli funksiya orqali ifodalab olib, masalani ko’rilgan
holstga keltirish mumkin.
Agar tenglama chap tomonining koifsentlari haqiqiy sonlar bo’lsa, u holda (21) fo’rmulalardan foydalanmasa ham bo’ladi. O’ng tomonini
(22)
bo’lgan tengalmani xususiy yechimi
(23)
ko’rinishda izlaymiz. Agar soni (18) xaraktiristik tenglamani ildizi bo’lmasa, u holda (23) fo’rmula deb olinadi. Agar soni (18) xaraktiristik tenglamani karrali ildizi bo’lsa, u holda (23) fo’rmula deb olindi. esa va sonlardan kattasiga teng, ya’ni .
Agar tenglamaning o’ng tomoni va (22) ko’rinshdagi bir nechta
funksiyalarning yig’indisiga teng bo’lsa, xususiy yechim quydagi qoida bo’yicha izlanadi.
O’ng tomoni bo’lgan tenglamalarning xususiy yechimi bo’lgan tenglamalarning xususiy yechimiga teng.
Misol:
3.4 Tenglamani yeching

Avvalo berilgan bir jinsli bo’lmagan tenglamaga mos

bir jinsli tenglamani umumiy yechimini topamiz:

xarakteristik tenglamaning ildizlari va bo’lgani uchun bir jinsli
tenglamaning umumiy yechimi

ko’rinishda bo’ladi.
tenglamaning o’ng tomonini bo’lib, soni
xaraktristik tenglamaning ildizlaridan birontasiga ham teng emas va -no’linchi darajali ko’phaddir. Shuning uchun xususiy yechim fo’rmulasida va deb olamiz. Shunday qilib, bir jinsli bo’lmagan tenglamaning xususiy yechmini

ko’rinishda izlaymiz. ni aniqlash uchun ni tenglamaga qo’yamiz. Demak, . Berilgan bir jinsli tengalmaning umumiy yechimini yozamiz: .
3.5 Tenglamani yeching
.
Berilgan tenglamaga mos keladigan bir jinsli tenglamani umumiy yechimini topish qiyin emas:
, ( ).
tenglamani o’ng tomonini bo’lib,
, , . Demak, va sonni xaraktiristik tenglamaning ildizlarini birortasiga ham teng bo’lmasligi uchun (10) fo’rmulada va deb olamiz. Shunday qilib bir jinsli bo’lmagan tenglamani xususiy yechimini ko’rinishda izlaymiz. va koifsentlarni aniqlash uchun ni tenglamaga qo’yamiz. va funksiyalarni oldidagi koifsentlarini taqqoslab, qiymatlarni topamiz. Demak .
Nihoyat, berilgan tenglamaning umumiy yechimini yazamiz: