Amaliy matematika va informatika kafedrasi

2.2 BIR JINSLI BO'LMAGAN O'ZGARMAS KOIFSENTLI DIFFERENSIAL TENGLAMALAR SISTEMASI
Bir jinsli bo'lmagan har qanday sistemaning umumiy yechimi unga mos bir jinsli sistemaning umumiy yechimi va bir jinsli bo'lmagan sistemaning birorta xususiy yechimidan iborat.
Bir jinsli bo'lmagan differensial tenglamaning hususiy yechimi bir nechta usullar bilan topish mumkin.
Aniqmas koifsent usuli. O'zgarmas koifsentli bir jinsli bo'lmagan chiziqli sistema berilga bo'lsin:
(31)
bu yerda -o'zgarmas sonlar .
Agar (31) sistemani o'ng tomonini funksiyalarning yig'indiari va ko'paytmalardan iborat bo'lsa, u holda bu sistemaning xususiy yechimini aniqmas koifsentlar usuli bilan topish mumkin. Buning uchun o'zgarmas koifsentli bitta chiziqli tenglama uchun ko'rsatilgan qoidalardan farqli farqli bo'lgan qoidadan foydalanish kerak. Agar ( - -darajali ko'phad) bo'lsa, u holda (31) sistemaning xususiy yechimi ko'rinishda emas, balki
(32)
ko'rinishda izlash kerak, bu yerda -koifsentlari noma'lum bo'lgan darajali ko'phad, agar soni xarakteristik tenglamaning ildizi bo'lmasa, u holda deb olinadi aks holda, ya'ni agar soni xarektiristik tenglamaning ildizi bo'lsa, u holda soni shu ildizlarning karraliligiga teng. Ko'phadlarning koifsentlarini aniqlash uchun (32) ifodalarni (31) sistemaga
qo'yib, chap va o'ng tomonlardagi o'xshash hadlar oldidagi koifsentlarni bir-biriga tenglashtirish kerak. funksiyalar va funksiyalarni o'z ichiga olib, son xaraktiristik tenglamaning ildizi bo'lgan holda ham xuddi yuqoridagi kabi yo'l tutiladi.
Misol:
2.1 Quydagi bir jinsli bo'lmagan sistemani yeching

Bu sistemani noma'lumlarni yo'qotish yo'li bilan yechsa ham bo'ladi. Sistemadagi birinchi tenglamani

ko'rinishda yozib olib, uni ikkinchi tenglamaga qo'yamiz. Natijada bitta noma'lumli yuqori tartibli

tenglamani olamiz. Unga mos bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi ( -xaraktiristik tenglamaning ildizlari) ko'rinishda bo'ladi. Bir jinsli bo'lmagan tenglamaning xususiy yechimini ko'rinishda izlab, xususiy yechimini olamiz. Demak,

Bu yechimni munosabatga qo'yib,

va ifodalar birgalikda berilgan sistemaning umumiy yechimini tashkil etadi.
2.2 Quydagi bir jinsli bo'lmagan sistemani yeching

Bu sistemaga mos bir jinsli sistema xaraktiristik tenglamasining ildizlarini topamiz:
, .
Bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi
.
Endi bir jindli sistemaning xususiy yechimini topamiz. Bizda . Demak, bo'lganligi uchun, xususiy yechimni ko'rinishda izlab, ni topamiz. Shunday qilib, berilgan sistemaning umumiy yechimi

ko'rinishda topiladi.