Amaliy matematika va informatika kafedrasi

2.3 HOLAT TEKISLIGI
Integral egri chiziqlarni trektoryasini qurish. Agar
(43)
differensial tenglamalar sistemasida t o'zgaruvchi (vaqt) oshkor qatnashmasa, funksiyalar esa biror sohada uzluksiz differensialanuvchi bo'lsa, bunday sistema avtanom (muxtor) sistema deyiladi. (43) sistemaning har bir yechimiga -o'lchovli fazodagi nuqtaning harakatini mos qo'yamiz. Harakat mobaynida nuqta chizadigan egri chiziq trektorya deyiladi. Shunga ko'ra, -shu trektoryaning parametrik tenglamalaridir. (1) sistemaning yechimlari trektorya ko'rinishida tasvirlanadigan -o'lchovli fazo holatlar fazosi deyiladi. Xususan, agar bo'lsa, u holda holatlar fazosi holatlar tekisligi deb yuritiladi. vektor holatlar tezligi deb ataladi. Avtanom sistemaning muvozanat holati shartdan, ya'ni

tenglamalar sistemasining yechimi sifatida topiladi.
Ushbu
(44)
sistemani holatlar tekisligidagi trektoryasini qurush uchun yoki bu sistemani bevosita tekshirish kerak, yoki bitta tenglamani boshqasiga bo'lib, sistemani birinchi tartibli
(45)
tenglamaga keltirish kerak. (44) sistemaning trektoryalari (45) sistemaning integral egri chiziqlaridir. Ularni yoki (45) tenglamani yechish yo'li bilan (ko'pinsha u (44) sistemadan ko'ra osonroq yechiladi), yoki izoklinalar usuli bilan qurush mumkin.
Holatlar tekisligida tenglamaning trektoryalarini qurush uchun bu tenglamadan tenglamaga o'tib olish kerak.
Limit sikillar. Limit sikl tushunshasi fransuz matematigi A.Paunkare kiritgan bo'lib, bu haqidagi dastlabki ilmiy natijalar unga tegishlidir.
Yana ushbu
(46)
avtanom sistemani tekshiramiz. Agar shunday musbat son mavjud bo'lsaki, biror egri chiziqdan dan kichik masofada nuqta qanday bo'lmasin, (46) sistemaning shu nuqtadan o'tadigan yechimi davriy bo'lmasa, u holda bu yechim (yoki trektorya) (46) sistemani limit sikli deyiladi. Agar (46) sistemaning trektoryalari limit siklga faqat dagina yaqinlashsa, u holda limit sikl turg'un limit sikl deyiladi. Agarda (43) sistemaning trektoryalari limit siklga faqat dagina yaqinlashsa, u holda bunday limit sikl noturg'un limit sikl deyiladi. (holatlar tekisligi) holida yarim turg'un limit sikllar deb ataluvchi sikllar o'rganiladi. Agar holatlar tekisligida ushbu
(47)
sistemalarning trektoryalari limit siklga bir tomondan da va ikkinchi tomondan da yaqinlashsa, bunday limit sikl yarim turg'un limit sikl deyiladi. Shhunga ko'ra, ikki xil yarim turg'un sikllar bo'lishi mumkin.
Teorema. (47) sistemaning o'ng tomonlari o'zining va bo'yicha xususiy hosilalar bilan birga uzluksiz bo'lsin va shu sistemaning limit sikli bo'lsin. U holda ga yaqin nuqtadan boshlanuvchi hamma ichki trektoryalar yoki da limit siklga spiral kabi o'rnaladi. Xuddi shu tasdiq limit siklga nisbatan tashqi trektoryalar uchun ham o'rinli.