Amaliy matematika va informatika kafedrasi

O’rniga qo’yish usuli (Bernuli usuli). Birinchi tartibli chiziqli (1) differensial tenglamaning umumiy yechimini ko’rinishida ishlaymiz. Bu bilan o’rniga izlanilayotgan yangi o’zgaruvchi, masalan ni kiritgan bo’lamiz. Shu sababli ikkinchi o’zgaruvchi ni yordamchi o’zgaruvchi deb qarab uni o’z hohishimizga qarab tanlashimiz mumkin.
hosilani hisoblab, va ning va orqali ifodalrni (1) tenglamaga
keltirib qo’yamiz.

bo’lgani uchun (1) tenglama
(7)
ko’rinishga keladi.
Yordamchi o’zgaruvchi ni tanlash mumkinligidan foydalanib, (7) da o’rta qavs ichidagi ifoda nolga aylantiriladigan qilib olamiz, ya’ni
(8)
bo’lishini talab qilamiz.
(8) tenglama o’zgaruvchilari ajraladigan tenglamadir. Uning ikkala qismini ga bo’lib va ga ko’paytirib,

tenglamani hosil qilamiz. Bu tenglamani integrallab topamiz:
,
ya’ni
. (9)
ni bu ifodasini (1) chiziqli tenglamaga mos kelgan

Bir jinsli tenglamaga qo’yib, o’zgaruvchiga nisbatan o’zgaruvchilari ajraladigan tenglamani hosil qilamiz:
.
Bu tenglamadan
(10)
yechimni topamiz.
(9) va (10) fo’rmulalar va ning oraliqdagi ifodalarini beradi. (1) chiziqli tenglamani yechishda maqsad ning ga bog’lanishini topish edi. Endi bo’lganligi uchun (1) tenglamaning umumiy yechimlari uzil-kesil quydagi ko’rinishda yoziladi:
.
(8) tenglamani integrallashdan hosil bo’lgan ixtiyoriy o’zgarmas ni ga ko’paytirish vaqtida qisqarib ketganiga e’tiborni qaratamiz. Shunday bo'lishi ham kerak edi, chunki birinchi tartibli tenglamaning umumiy yechimi faqat bitta ixtiyoriy o’zgarmasga bog’liq bo’lishi kerak. Buni avvaldan bilgan holda
(9) yechimda oldindan deb olish va (8) tenglamaning (9) umumiy yechimni o’rniga xususiy yechimni olish mumkin, amalda (tenglamalar yechishda) shunday qilinadi.
Misol: