Amaliy matematika va informatika kafedrasi

1.2 CHIZIQLI DIFFERENSIAL TENGLAMALAR
Ushbu
(1)
ko’rinishdagi tenglama birinchi tartibli chiziqli differensial tenglama deyiladi, bu yerda va berilgan oraliqda aniqlangan uzluksiz funksiyalar. Chiziqli differensial tenglamani yechishning eng katta tarqalgan usuli o’zgarmasni variyatsalash usulidir. Shu usulni ko’rib chiqamiz.
O’zgarmasni variatsalash usuli. Agar (1) tenglamada bo’lsa, u holda
(12)
ko’rinishidagi tenglama hosil bo’lib, (1) chiziqli tenglamaga mos bir jinsli tenglama deyiladi.
Avvalo (2) tenglamani, ya’ni (1) chiziqli tenglamaga mos bir jinsli tenglamani yechamiz. (2) tenglama o’zgaruvchilarga ajraladigan tenglama bo’lib, u
(3)
ko’rinshdagi umumiy yechimga ega. (1) tenglamaning umumiy yechimini topish uchun (3) dagi o’zgarmasni varyatsalaymiz, ya’ni (3) fo’rmulada
o’zgarmasning o’rniga funksiya qo’yamiz:
(4)
Endi esa (4) funksiyani va undan olingan hosilani

1. 
   tenglamaga qo’yamiz. Natijada oson integrallanadigan
   

(5)
differensial tenglamaga kelamiz. Undan funksyani topamiz:
.
Topilgan funksiya (4) fo’rmulaga qo’yib, berilgan (1) chiziqli tenglama-
ning umumiy yechimiga ega bo’lamiz:
. (6)
Birinchi tartibli differensial tenglamani umumiy yechimini (6) fo’rmula yordamida aniqlash va aniqmas integrallarning har biridagi boshlang’ich funksiyalaridan bittasini olish yetarli, chunki ularga ixtiyoriy o’zgermaslarni qo’shish faqat ixtiyoriy o’zgarmasning qiymatini o’zgartiradi xolos bu differensial tenglamaning umumiy yechimi umumiy yechmi uchun muhim emas.
Bu usulning nomi o’zgarmasni argumentning funksiyasi deb qarab, uni varyatsalaganimizdan (o’zgartirganimizdan) kelib chiqgan.
Bu yerda ko’rib chiqilgan o’zgarmasni variatsalash usuli bitta (1) chiziqli tenglamni integrallash masalasini o’zgaruvchilari ajraladigan ikkita (2) va (5) tenglamalarning yechimlariga olib keladi.
Chiziqli differensial tenglamani yeshishni yana bir usuli bu o’rniga qo’yish usuli (Bernuli usuli). Bu usulni ham ko’rib chiqsak.