F(x)dx aniq integralni topish zarur bo'lsin

Raqamli integrasiya, boshqa sonli usullar singari, analitik usullar bilan integrallash qabul qilinadigan ifodalarning yo'qligi yoki hisob-kitoblarning murakkabligi tufayli antiderivativ funktsiyani topishning iloji yo'qligi sababli qiyinchilik tug'diradigan hollarda qo'llaniladi. Biroq, ma'lumki, har qanday uzluksiz funksiya uchun aniq integral mavjud. Uni sonli usullar bilan topish integratsiyani uning yaqinlashuvi bilan almashtirishni o‘z ichiga oladi, buning uchun aniq integralni topishga berilgan aniqlik bilan chekli sonli hisoblar orqali erishiladi. Shunday qilib, integratsiyaning asosiy bosqichi dastlabki integralni etarlicha aniqlik bilan tavsiflovchi oddiy integrallanadigan funktsiyani topishga aylanadi.
I = S_a^b f(x)dx aniq integralni topish zarur bo'lsin

f(x) funksiyadan (a,b) oraliqda (20-rasm)

20-rasm 21-rasm

Aniq integral I - uzluksiz f(x) funksiyasi, x o'qi va funktsiyaning a va b oraliqlari chegaralari nuqtalaridagi ordinatalari bilan chegaralangan figuraning maydoni. Bunday raqamning maydonini faqat f (x) funktsiyalarining kichik soni uchun analitik hisoblash mumkin.

Taxminiy raqamli hisoblash usuli quyidagicha.
(a,b) integrallash oralig‘ini h uzunlikdagi teng n ta qismga bo‘ling
h = (b-a)/n
Maydonni (integral) talqin qiluvchi figurani n ta raqamga ajratamiz, ular balandligi h doimiy bo'lgan egri chiziqli trapezoidlar va ordinatlari (xi-1, xi) bilan qo'shni nuqtalarda f(x) funktsiyaning qiymatlariga teng tomonlari. (21-rasm).
X qiymatlari quyidagicha aniqlanadi:
x0 = a
x1 = a+h
x2 =a+2s
...............
xi =a+ih
...............
xn = b
Egri chiziqli trapetsiyalarning har birining maydoni xi-1 dan xi gacha bo'lgan aniq integraldir va barcha trapetsiyalarning maydonlari yig'indisi (a,b) ichidagi aniq integralning kerakli qiymatiga mos keladi.
Agar biz etarlicha ko'p sonli segmentlarni tanlasak n , u holda har bir trapezoidning egri chiziqli tomoni etarli aniqlikdagi to'g'ri segment bilan almashtirilishi mumkin. Keyin aniq integralni hisoblash vazifasi ifoda orqali "kichik" trapetsiyalarning maydonlari yig'indisini topishga keltiriladi.
I = Si=1nSi, bu erda
Si = (h/2)* (f(xi-1)+f(xi)) -
har bir trapetsiyaning maydoni.
Olingan bog'liqlik ikkita asosiy raqamli integratsiya formulalari – Trapeсiya formula va Simpson formulasi yordamida integralni hisoblash uchun ishlatiladi.
Trapeciya formula
(xi-1, xi) oraliqdagi egri chiziqli funktsiyani to'g'ri chiziq bo'lagi bilan almashtirish imkonini beruvchi yetarlicha katta n ga ega bo'lgan aniq integralni hisoblash ifodasini yozamiz:
I = Si=1nSi = Si=1n(h/2)*(f(xi-1)+f(xi)) = (h/2)*Si=1n(f(xi-1)+f(xi) ) =
=(h/2)*(f(x0)+f(x1)+f(x1)+
+ f(x2)+f(x2)+...+f(xn-1)+f(xn)) = (h/2)*(f(x0)+f(xn)+2Si=1n-1f (xi)) =
= h*(f(a) + f(b) + 2*Si=1n-1f(xi))/2 .
Hosil bo'lgan trapesiya formulasida barcha elementlar ma'lum bo'lib, formulaning tabiati sikl shaklida hisoblash jarayonini shakllantirishga imkon beradi. Hisob-kitoblarning aniqligi n bo'limlari sonining ko'payishi bilan ortadi.


Simpson formulasi
Grafikning egriligi sezilarli bo'lgan katta dinamikaga ega funktsiyalar uchun hisob-kitoblarning aniqligini oshirish elementar trapezoidning egri chiziqli qismini to'g'ri chiziq segmenti bilan emas, balki parabola qismi bilan almashtirish orqali ta'minlanadi. Parabola ikkinchi tartibli tenglama bilan tasvirlanganligi sababli, bitta parabola chizish mumkin bo'lgan uchta nuqtadan foydalanish kerak.

22-rasm
Yonlaridan biri parabola bo'lgan trapetsiyaning maydoni ushbu parabolani integrallash orqali aniqlanadi:
I=(h/3)*[f(a)+f(b)+4*(f(x1)+f(x3)+...+f(xn-1))+ +2*(f( x2)+f(x4)+...+f(xn-2))]
Simpson formulasidan foydalanish uchun segmentlar soni n juft bo'lishi kerak.
X(i = 1,3,5,...,n-1) toq indekslar uchun koeffitsient 4 ga teng.
X (i =2,4,6,...,n) juft indekslari uchun koeffitsient 2 ga teng.
Uch nuqta va ikkinchi darajali egri chiziqdan (parabola) foydalanish tufayli Simpson formulasining aniqligi trapezoid formulasining aniqligidan tubdan yuqori.
Raqamli integrasiya, boshqa sonli usullar singari, analitik usullar bilan integrallash qabul qilinadigan ifodalarning yo'qligi yoki hisob-kitoblarning murakkabligi tufayli antiderivativ funktsiyani topishning iloji yo'qligi sababli qiyinchilik tug'diradigan hollarda qo'llaniladi. Biroq, ma'lumki, har qanday uzluksiz funksiya uchun aniq integral mavjud. Uni sonli usullar bilan topish integratsiyani uning yaqinlashuvi bilan almashtirishni o‘z ichiga oladi, buning uchun aniq integralni topishga berilgan aniqlik bilan chekli sonli hisoblar orqali erishiladi. Shunday qilib, integratsiyaning asosiy bosqichi dastlabki integralni etarlicha aniqlik bilan tavsiflovchi oddiy integrallanadigan funktsiyani topishga aylanadi.