5-§. Chiziqli differensial tenglamalar Bernulli tenglamasi

5-§. CHiziqli differensial tenglamalar

Bernulli tenglamasi

1. CHiziqli differensial tenglamalar

Ta’rif. Noma’lum funksiya va uning hosilasiga nisbatan chiziqli bo‘lgan tenglamaga chiziqli differensial tenglama deyiladi. Bunday tenglama
(1.15)
ko‘rinishga ega bo‘ladi, bu erda va berilgan uzluksiz funksiyalar. (1.15) tenglama echimini ikki funksiya ko‘paytmasi ko‘rinishida qidiramiz:
(1.16)
Bu funksiyalarning birini ixtiyoriy deb olish mumkin, ikkinchisi esa (1.15) tenglama orqali topiladi. (1.16) tenglikni ikki tomonini differensiallaymiz:
.
Topilgan hosila ifodasini (1.15) tenglamaga qo‘yib
yoki (1.17)
bo‘lishini topamiz. funksiyani
(1.18)
shartni qanoatlantiradigan qilib olamiz. Bu differensial tenglamada ga nisbatan o‘zgaruvchini ajratib, quyidagini topamiz:
integrallab yoki ni hosil qilamiz.
Bizga (1.18) tenglamaning noldan farqli biror echimi etarli bo‘lgani uchun sifatida
(1.19)
funksiyani olamiz, bu erda ∫Rdx qandaydir boshlang‘ich funksiya. Topilgan ning qiymatini (1.17) tenglamaga qo‘yib,
yoki ekanligini topamiz, bu erdan

ni topamiz. u va larni (1.16) formulaga qo‘yib, nihoyat
yoki (1.20)
(1.15) ning umumiy echimini topamiz.
1-misol. tenglamani eching.
Echish. deb olsak, u holda
ifodasini berilgan tenglamaga qo‘ysak,

yoki
. (1.21)
funksiyani aniqlash uchun yoki tenglamani hosil qilamiz. Bu erdan yoki .
ni ifodasini (1.21) tenglikka qo‘yib, ni aniqlash uchun yoki tenglamani hosil qilamiz, bu erdan . Demak, berilgan tenglamaning umumiy echimi bo‘lar ekan.

2. Bernulli tenglamasi

Ta’rif.
, . (1.22)
ko‘rinishdagi tenglama Bernulli tenglamasi deb ataladi, bu erda P(x) va (x) berilgan uzluksiz funksiyalar, n≠0;1.
Tenglamaning barcha hadlarini yⁿ ga bo‘lamiz
(1.23)
va almashtirishni bajaramiz, u holda
.
Topilgan qiymatni (1.23) tenglamaga qo‘yib, chiziqli tenglamani hosil qilamiz. CHiziqli tenglamaning umumiy integralini topgandan so‘ng, o‘rniga ni qo‘yib, Bernulli tenglamasining umumiy integralini hosil qilamiz.
2–misol. Ushbu
(1.24)
tenglamani eching.
Echish. Tenglamaning barcha hadlarini ga bo‘lamiz
. (1.25)
va almashtirishni bajaramiz, u holda . Bu qiymatlarni (1.25) ga qo‘yib
(1.26)
chiziqli tenglamani hosil qilamiz. Uning umumiy integralini topamiz:
zqu· ,
Bu ifodalarni (1.26) tenglamaga qo‘yamiz:
yoki
qavs ichidagi ifodani nolga tenglab,
ln| |qx²,
ekanligini topamiz. u ni aniklash uchun

tenglamaga ega bo‘lamiz. O‘zgaruvchilarni ajratib

ekanligini topamiz. Oxirgi integralni bo‘laklab

ifodalarni topamiz. Demak, berilgan tenglamaning umumiy integrali yoki bo‘lar ekan.

Quyidagi tenglamalarni eching.

25. 33.

26. 34.
27. 35.
28. 36.
29. 37.
30.
31.
32.