Reja:
1. Lagranj tenglamasi.
2. Lagranjning ikkinchi tur tenglamasi.
3. Potensialli kuchlar bo’lgan holda Lagranjning II tur tenglamalari.
Mavzu: LAGRANJNING IKKINCHI TUR TENGLAMASINI HOSIL QILISH
Erksiz golonom sistemaning harakat tenglamalrini dinamikaning umumiy tenglamasidan foydalanib keltirib chiqaramiz.
Umumlashgan koordinatalrni tanlab, sistema nuqtalarining dekart koordinatalarini umumlashgan koordinatalar orqali ifodalab olamiz, ya’ni
xv=xv(1.q1, q2, …, qn,t);
yv=yv(1.q1, q2, …, qn,t); (i=1,2,…,n)
zv=zv(2.q1, q2, …, qn,t).
Yoki
Bu ifodani umumlashgan koordinatalar bo’yicha variasiyalaymiz:
Buni dinamikaning umumiy tenglamasiga qo’yamiz:
Yig’indi tartibini o’zgartiramiz
Umumlashgan koordinalarning ta’rifiga asosan, δqi variasiyalar o’zaro bog’liqmas, shuning uchun
(1.14)
Bizga ma’lumki, umumlashgan kuchlar
formula bilan topiladi.
Shunday qilib, (1.14) tenglikdan
(1.15)
Yig’indi ostidagi ifodani quyidagicha almashtiramiz:
(1.16)
(1.17)
xususiy hosilalar umumlashgan koordinatalar va vaqtning funksiyasi bo’lgani uchun
(1.18)
(1.17) ni qi bo’yicha differensiallaymiz:
ikkinchi tomondan
bularga asosan
(1.19)
(1.18) va (1.19) ifodalarni (1.16) ga qo’yamiz
(1.20)
(1.20) ni (1.15) ga qo’yib, sistema kinetik energiyasi uchun
formulani e’tiborga olib, (1.14) dan quyidagi tenglamani hosil qilamiz:
(1.21)
(1.21) tenglamalar Lagranjning II tur tenglamalari deyiladi.
Lagranjning II tur tenglamalari dinamika masalalarini yechishning yagona va shu bilan birga sodda usulini bildiradi. Bu tenglamalarning yutug’i deb hisoblanadigan tomoni bu tenglamalarning ko’rinishi na mexanik sistemaga kiruvchi jismlar (nuqtalar) sonidan, na bu jismlar harakatining ko’rinishiga bog’liq; Lagranj tenglamalari soni sistemaning erkinlik darajasigagina bog’liq. Bundan tashqari ideal bog’lanishlar bo’lgan holda Lagranj tenglamalarining o’ng tomoniga umumlashgan kuchlar kiradi, va demak, bu tenglamalarda oldindan noma’lum bog’lanish reaksiyalari qatnashmaydi. Bu bilan noma’lum reaksiya kuchlarini topish masalasi erksiz mexanik sistema harakat differensial tenglamalarini tuzish masalasidan ajratiladi. Lagranjning II tur tenglamalari dinamika masalalarini dinamikaning ixtiyoriy masalasini yechishning yagona metodikasini - amallar bajarishning aniq tartibini belgilab beradi.
Potensialli kuchlar bo’lgan holda Lagranjning II tur tenglamalari
Mexanik sistemaga ta’sir etuvchi barcha kuchlar potensialli bo’lsin, u holda
P – potensial energiya deyiladi. (1.14) ga asosan (1.21) ni quyidagi ko’rinishda yozamiz:
quyidagi funksiyani kiritamiz:
L=T-Π,
L funksiyaga Lagranj funksiyasi yoki kinetik potensial deyiladi. Potensial energiya umumlashgan tezliklarga bog’liqmas bo’lgani uchun
Bunga asosan
Lagranjning II tur tenglamalari dinamika masalalarini yechishning yagona va shu bilan birga sodda usulini bildiradi. Bu tenglamalarning yutug’i deb hisoblanadigan tomoni bu tenglamalarning ko’rinishi na mexanik sistemaga kiruvchi jismlar (nuqtalar) sonidan, na bu jismlar harakatining ko’rinishiga bog’liq; Lagranj tenglamalari soni sistemaning erkinlik darajasigagina bog’liq. Bundan tashqari ideal bog’lanishlar bo’lgan holda Lagranj tenglamalarining o’ng tomoniga umumlashgan kuchlar kiradi, va demak, bu tenglamalarda oldindan noma’lum bog’lanish reaksiyalari qatnashmaydi. Bu bilan noma’lum reaksiya kuchlarini topish masalasi erksiz mexanik sistema harakat differensial tenglamalarini tuzish masalasidan ajratiladi. Lagranjning II tur tenglamalari dinamika masalalarini dinamikaning ixtiyoriy masalasini yechishning yagona metodikasini - amallar bajarishning aniq tartibini belgilab beradi. Dinamika masalalarini Lagranjning II tur tenglamalari yordamida yechishning shu tartibini keltirib o’tamiz:
1. Mexanik sistema erkinlik darajasini topish;
2. Umumlashgan koordinatalarni tanlash;
3. Umumlashgan kuchlarni topish;
4. Sistema kinetik energiyasini topish;
5. Lagranj tenglamalariga kiruvchi hosilalarni hisoblash;
6. Lagranj II tur tenglamalarini tuzish va boshlang’ich shartlar asosida integrallash;
7. Masala shartida topish talab etilayotgan noma’lumlarni topish.
Do'stlaringiz bilan baham: |