13. Ba’zi funksiyalarning limitlarini hisoblash. Reja: 1

13.Ba’zi funksiyalarning limitlarini hisoblash.

Reja:

1.Triganometrik funksiyalar uchun bazi bir tengsizliklar.

2.Birinchi ajoyib limit.

3.Ikkinchi ajoyib limit.

4.Ko’rsatkichli va lagorifmikfunksiyalar uchun ba’zi bir limitlar.

1.Triganometrik funksiyalar uchun ba’zi bir tengsizliklar.

Agar Va bo’lsa, u holda

(1)

tengsizlik o’rinli.

(birinchi ajoyib limit)

Koordinata tekisligida markazi O nuqtada bo’lgan birlik aylanani chizamiz.

bo’lsin.

nuqta buqatning o’qidagi preksiyasi, nuqta esa to’g’ri chiqizq bilan nuqtada o’qiga perpendicular qilinb o’tkazilgan to’g;ri chiziqning kesishgan nuqtaqsi bo’lsin. U holda bo’ladi

uchburchakni yuzi

sektorning yuzi

uchburchakni yuzi bo’lsin. tengsizlikni o’rinli ekanligi ravshan.

Demak , (2)

da bo’lganligi uchun (2) tengsizlik tengsizxlikka ekvivalent yoki

tengsizlikka ekvivalent.

Demak (1) tengsizlik bo’lgan holda isbot bo’ladi, lekin funksiya juft fuksiya bo’lganligi uchun . Demak bu funksiya (- dagi qiymatlari dagi qiymatlariga teng

Demak (1) tengsizlik bu holda ham o’rinli.



ekanigi uchun

(3)

ekanligi kelib chiqadi.

(3) tenglik birinchi ajoyib limit deyiladi.

2. Ikkinchi ajoyib limit

Teorema.

funksiya dagi limiti ga teng ya’ni

(4)

Isbot. Bizga malumki tenglik o’rinli

Natural sonlar ketma-ketligidan qismiy ketma-ketlik ajratib olamiz. Bu qismiy ketma-ketlik uchun bo’lsin bu qismiy ketma-ketlik uchun (4) ekanligini ko’rsatamiz.

Ketma-ketlikning limitining ta’rifiga ko’ra

(3) dan esa

M=N, deb olsak bo’lar ekan .

Bu yerdan va (5) dan

(7)

munosabatni olamiz. Bu esa ekanligi kelib chiqadi.

(2) tenglikni isbotlash uchun

tenglik to’g’ri ekanligini isbotlaymiz..

Dastlab, ekanligini ko’rsatamiz buning uchun hadlari musbat bo’lib, bo’lgan ketma-ketlikni qaraymiz.

bo’lanligi uchun, umumiylikka zarar keltirmasdan deb faraz qilishimiz mumkin.

belgilashni kiritamiz va bundan esa ekanligi kelib chiqadi.

< +1

(8)





=

munosabatlardan =e tenglikni olamiz.

Funksiya limitining Geyne ta’rifidan foydalanamiz. kelib chiqadi.

Endi ekanligini isbotlaymiz.

Faraz qilaylik, bo’lgan ketma-ketlikni qaraylik.

belgilashni kiritamiz.

va bo’ladi. U holda

= =

bo’lganligi uchun)

bo’lganligidan hamda tengliklarga asosan bu holda ham ekanligi kelib chiqadi.

Bu yerdan ham limitning Geyne ta’rifidan foydalansak ekanligini olamiz .

Natija 1. Agar nuqtaning ( atrofi) topilib bo’lib, bo’lsa, u holda bo’ladi.

Xususiy holda bo’ladi.

(

Teorema 2. Agar va bo’lsa u holda

bo’ladi.



Isbot. bo’lganligidan

(9)

bo’lganligidan funksiyaning b nuqtaning biror atrofida aniqlanganligi kelib chiqadi.



z

E(

Bu yerdan (9) dan murakkab funksiyaning mavjudkigi kelib chiqadi. Ikkinchi tomondan bo’lganligidan

kelib chiqadi.

(9) va (10) dan

Bu esa ekanligini bildiradi.

Agar





=





= =







Savol va topshiriqlar

1.. ni isbotlang.

2. ni isbotlang.

3. ni isbotlang.

4. . ni isbotlang.