To’g’ri burchak koordinatalar sistemasida yuzalarni hisoblash Qutb koordinatalarda egri chiziqli sektorning yuzi Egri chiziq yoyining uzunligi

Aniq integralning tatbiqlari
REJA

1. 
   To’g’ri burchak koordinatalar sistemasida yuzalarni hisoblash
   
2. 
   Qutb koordinatalarda egri chiziqli sektorning yuzi
   
3. 
   Egri chiziq yoyining uzunligi
   
4. 
   Aniq integrallarni taqribiy hisoblash
   

Agar [a b, ] kesmada f x( ) 0 bo’lsa, u holda, y  f x( ) egri chiziq, Ox o’q hamda x a , x b to’g’ri chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyaning yuzi
b
Q  f x dx( ) (1)
a
b
Agar f x( ) 0 [a b, ]da bo’lsa, u holda  f x dx( ) aniq integral ham  0 bo’ladi.
a
Absolyut qiymati jihatidan u mos egri chiziqli trapetsiyaning Q yuziga teng:

b
 Q  f x dx( )
a
Agar f x( ) funksiya [a b, ] kesmada chekli marta ishorasini o’zgartirsa, u holda butun [a b, ] kesma bo’yicha olingan intervali qism-qism kesmalar bo’yicha integrallar yig’indisiga ajratamiz. Integral f x( ) 0 bo’lgan joylarda musbat va f x( ) 0 bo’lganda manfiy bo’ladi. Bunday holda
b
Q | f x( ) | dx
a bo’ladi.
Misol 1. ysinx sinusoid ava Ox o’q bilan 0 x 2 bo’lganda chegaralangan Q yuzani toping.

Yechish. 0 x da sinx 0 va  x 2da sinx 0bo’lganligi uchun

22
Qsin xdx sin xdx  |sin x dx|
00

sin xdxcos x |^₀(cos cos0)   ( 1 1) 2
0
2  sin xdxcos x |_^2(cos2  cos ) 2


Demak, Q   2 | 2| 4

Agar y  f x₁( ), y  f x₂( ) egri chiziqlar va x a ,x b ordinatalar bilan chegaralangan yuza f x₁( ) f x₂( ) shart bajarilganda
b b b
Q  f x dx₁( )  f x dx₂( ) [ ( )f x₁  f x dx₂( )] (2)
a a a
bo’ladi.


Misol 2. y_ x va y x_ ² egri chiziqlar bilan chegaralangan yuzani toping.


Yechish. Egri chiziqlarning kesishish nuqtasini topamiz: x x_ ²;x x_ ⁴, bu yerdan x₁ 0 va x₂ 1.
Demak,
Q10 xdx10 x dx² ^10( x x dx ²) ²₃x3² 10  ^x₃3 10   ₃2 1₃ ¹₃
Endi tenglamasi
x ( )t , y ( )t (3)
parametrik ko’rinishda bo’lgan egri chiziq bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiya yuzasini topamiz, bu yerda
  t va ( )  a, ( ) b.
(3) tenglamalar [a b, ] kesmada biror y  f x( ) funksiyani aniqlash va demak egri chiziqli trapetsiyaning yuzi
b b
Q  f x dx( )  ydx

a a
formula bilan hisoblanishi mumkin.
B u integralda o’zgaruvchini almashtiramiz: x ( )t ,dx '( )t dt . (3) tenglamalar asosida topamiz:
y  f x( )  f[ ( )]t ( )t
Demak,
b
Q  ( )t '( )t dt (4)
a
Bu parametric ko’rinishda berilgan egri chiziq bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyani yuzasini topish formulasidir.
Misol. Ellips bilan chegaralangan soha yuzini toping.
x acos ,t y bsint
Yechish. Ellipsning yuqori yarmi yuzasini topamiz va adan agacha o’zgaradi, demak, t dan 0 gacha o’zgaradi:
0 0 
Q  2 ( bsint)(asintdt) 2absin²tdt  2absin²tdt 
  0

 2ab^1 cos2 2t dt  2ab_2t  sin24 t_^0 ab
0
2. Qutb koordinatalarda egri chiziqli sektorning yuzi
Qutb koordinatalar sistemasida egri chiziq
  f ( )
tenglama bilan berilgan bo’lsin, bu yerda f ( ) -     da uzluksiz funksiya.
  f ( ) egri chiziq hamda    ,  radius-vektolar bilan chegaralangan OAB sektorning yuzini topamiz.

Berilgan yuzani     ₀  ,  ₁,..., _n  radius-vektorlar yordamida n qismlarga ajratamiz. O’tkazilgan radius-vektorlar orasida burchaklari   ₁, ₂,...,_n bilan belgilaymiz.

_i1 va _i orasida joylashgan qandaydir _i burchakka mos kelgan radius-vektorning uzunligini _i bilan belgilaymiz.
1 ²

Radiusi _i va markaziy burchagi _i bo’lgan doiraviy sektorni qaraymiz. Uning yuzasi  Q _i  _i  _i ga teng. Ushbu 2
Qn  1n  i 2 i 12in1[ (f  i )]2 i
2 i 1
esa “zinasimon” sektorning yuzini beradi.
Bu yig’indi     kesmada ²  [ (f _i)]² funksiya uchun integral yig’indi bo’lganligi uchun uning max _i 0 bo’lgandagi
limiti
1 2d 2

aniq integral bo’ladi. U biz _i burchakning ichida qaysi _i radius-vektorni olishimizga bo’gliq emas.
Shunday qilib, OAB sektorning yuzi
1 ²d (1)