Численные методы линейной алгебры


Обусловленность системы линейных алгебраических уравнений



Download 1,31 Mb.
bet4/29
Sana22.09.2022
Hajmi1,31 Mb.
#849803
TuriУчебное пособие
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   29
Bog'liq
Выч. мат. учебник-1111111

Обусловленность системы линейных алгебраических уравнений

Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) в развернутой форме записывается следующим образом


(1.1)
Из теории линейной алгебры следует, что система уравнений (1.1) имеет решение (совместна) при любых правых частях в том и только в том случае, если соответствующая однородная система имеет только тривиальное решение х12=…хn=0. Необходимым и достаточным условием этого является условие, когда матрица А

имеет определитель, отличный от нуля, т.е. detA0. Условие совместности системы (1.1) при любых правых частях detA0 обеспечивает и единственность решения. С использованием матрицы А систему (1.1) можно переписать в виде

или в матричной форме
Ax=b. (1.2)
Пусть требуется найти решение системы (1.2). Задача решения системы (1.2) поставлена, корректна, если

  1. решение задачи существует;

  2. решение единственно;

  3. решение непрерывно зависит от входных данных.

Известно, что требования 1 и 2 будут выполнены, если detA0. Требование 3 нуждается в детализации. Входными данными в задаче (1.2) являются коэффициеты aij матрицы А и компоненты вектора .
Если входные данные А и заданы с некоторой погрешностью А, b, то вместо системы (1.2) решается задача
(А+А)(х+х)=b+b. (1.3)
Тогда возникает вопрос о том, как связана погрешность решения х с погрешностями входных данных А или b.
Пусть вначале А=0, а b0. Тогда из формулы (1.3) получим
Ах+Ах=b+b. (1.4)
После вычитания из (1.4) выражения (1.2) получим
Ах=b,
х=А-1b,
следовательно
║х║║А-1║║b║. (1.5)
Таким образом, связь между ║х║ и ║b║ установлена. Однако на практике более естественна связь между нормами относительных погрешностей, а не абсолютных.
Так как
║b║║А║║х║, (1.6)
то из (1.5) и (1.6) получим
║х║║b║║А║║А-1║║х║║b║
или
║х║/║x║║А║║А-1║║b║/║b║. (1.7)

Теперь пусть b=0, А0. Дополнительно предположим, что А таково, что


det(A+А)0. Тогда из формулы (1.3) получим
х+х=(A+А)-1b. (1.8)
После вычитания из (1.8) х= А-1b получим
х=[(A+А)-1-A-1]b. (1.9)
Введем обозначение
B=(A+А)
и используя тождество
B-1- A-1= A-1(A-B)B-1
находим, что
B-1- A-1= -A-1А(А+А)-1
или
(A+А)-1- A-1= -A-1А(А+А)-1. (1.10)
После подстановки (1.10) в (1.9) получим
х= -A-1А(А+А)-1b,
откуда
b= -х/[ A-1А(А+А)-1] . (1.11)
После подстановки (1.11) в (1.8) получим
х= -A-1А(х+х)
или
║х║║А-1║║А║║х+х║, (1.12)
║х║/║x+х ║║А║║А-1║║А║/║А║. (1.13)
Из (1.5) и (1.12) следует, что если ║b║0 или ║А║0, то ║х║0. Это и означает непрерывную зависимость решения задачи (1.2) от входных данных. Следовательно, условия detA0, det(A+А)0 обеспечивают корректную постановку задачи (1.2).
Входящее в оценки (1.7) и (1.13) число (А)=║А║║А-1║ называется числом обусловленности матрицы А.


Определение 1.3. Если число (А) относительно мало, то матрица А является хорошо обусловленной. Если число (А) относительно велико, то матрица А является плохо обусловленной.

Для плохо обусловленной СЛАУ недопустима, велика правая часть в неравенствах (1.7) и (1.13). Поэтому лишь очень малые погрешности входных данных задачи (1.2) гарантируют приемлемую относительную погрешность решения.




Определение 1.4. Число (А) для произвольной квадратной матрицы А удовлетворяет условию
(А) maxA/minA1, (1.14)
где A – собственное число матрицы А.


Определение 1.5. Число (А) для симметричной матрицы А удовлетворяет условию
(А)= maxA/minA=1.


Пример 1.1. Дана матрица
. (1.15)
Для оценки числа обусловленности этой матрицы воспользуемся формулой (1.14). Как известно собственные значения матрицы А являются корнями характеристического уравнения
detA-E=0,
2+4+0,0003-0.
Далее получим 1=-0,0001, 2=-3,9999, откуда (А)2/1=399994.104. Отсюда следует, что матрица А плохо обусловленная.


Пример 1.2. Рассмотрим уравнение Ах=b, где матрица А задана выражением (1.15), . Тогда точное решение .
Допустим вектор b задан с погрешностью, т.е. имеем , тогда получим решение . Оценим относительную погрешность решения при b0. Из примера 1.1 известно (А) 4.104. Тогда несмотря на малость ║b║/║b║1,4143.10-4 относительная погрешность решения велика, т.е. ║х║/║x║0,9618(А)║b║/║b║5,6772.



Download 1,31 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   29




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2022
ma'muriyatiga murojaat qiling

    Bosh sahifa
davlat universiteti
ta’lim vazirligi
axborot texnologiyalari
maxsus ta’lim
zbekiston respublikasi
guruh talabasi
O’zbekiston respublikasi
nomidagi toshkent
o’rta maxsus
davlat pedagogika
texnologiyalari universiteti
toshkent axborot
xorazmiy nomidagi
rivojlantirish vazirligi
pedagogika instituti
Ўзбекистон республикаси
tashkil etish
haqida tushuncha
таълим вазирлиги
vazirligi muhammad
O'zbekiston respublikasi
toshkent davlat
махсус таълим
respublikasi axborot
kommunikatsiyalarini rivojlantirish
vazirligi toshkent
saqlash vazirligi
fanidan tayyorlagan
bilan ishlash
Toshkent davlat
sog'liqni saqlash
uzbekistan coronavirus
respublikasi sog'liqni
coronavirus covid
koronavirus covid
vazirligi koronavirus
risida sertifikat
covid vaccination
qarshi emlanganlik
sertifikat ministry
vaccination certificate
Ishdan maqsad
fanidan mustaqil
matematika fakulteti
o’rta ta’lim
haqida umumiy
fanlar fakulteti
pedagogika universiteti
ishlab chiqarish
moliya instituti
fanining predmeti