Численные методы линейной алгебры

Глава 1. Погрешности приближенных вычислений

и основные теоремы

На практике очень редко приходится иметь дело с точными числами. Обычно результаты измерений всегда являются приближенными, прежде всего вследствие ограниченной точности измерительных приборов. Действительно, каждый измерительный прибор имеет шкалу, на которой промежутки деления не могут быть как угодно малыми. Следовательно, на практике имеем дело с приближенными числами, содержащими ошибки любого происхождения.

Поэтому в главе кратко рассматривается круг вопросов, связанных с погрешности приближенных вычислений и даются основные теоремы, используемые при разработке численных методов решения задач линейной алгебры.

1. 
   Погрешности приближенных вычислений
   

Погрешности численного решения различных задач обусловлены следующими основными причинами:

1. 
   неточностью математической модели, в частности неточно заданы исходные данные описания;
   
2. 
   приближенным характером методов решения;
   
3. 
   операции округления в вычислительной технике.
   

Погрешности, вызванные этими причинами, называют, соответственно:
А) неустранимой погрешностью,
Б) погрешностью метода,
В) вычислительной погрешностью.
Введем следующие обозначения:
х – точное значение параметра;
- значение параметра, соответствующее принятой модели;
– значение численного решения, полученное по принятой модели, в предположении отсутствия ошибок округлений;
x_h – приближенное решение задачи, получаемое при реальных вычислениях.
Тогда
₁= х - – неустранимая погрешность;
₂= - – погрешность численного решения;
₃= - x_h– погрешность вычисления.
Таким образом, полная погрешность равняется
_о=₁+₂+₃=х- x_h.


Определение 1.1. Если х точное значение, а x_h – приближенное значение некоторого параметра, то абсолютная погрешность  определяется формулой
= х- x_h.


Определение 1.2. Относительная погрешность  этого же параметра вычисляется по формуле
= х- x_h/x_h.

2.