Численные методы линейной алгебры

1.3. Основные теоремы

В этом параграфе приводятся основные теоремы, которые имеют широкое применение в численных методах решения СЛАУ.

Теорема Адамара [1]. Если для матрицы А порядка n выполняется n неравенств
a_kk- >0, ( ), (1.16)
то матрица А является невырожденной.

Доказательство

Пусть матрица А- вырождена, т.е. detA=0. Тогда существуют такие числа х₁, х₂, …, х_n c максимальным x_k>0, что выполняется
( ).
Также выполняется
a_kkx_k x_jx_k ( ).
Далее сокращая на x_k, получим
a_kk ( )
или a_kk- 0, ( ). Следовательно, при выполнении неравенств (1.16) detA0, т.е. А – невырождена. Теорема доказана.


Теорема о LU разложении [9]. Пусть все главные миноры матрицы А n-го порядка отличны от нуля, то есть
а₁₁0, 0, …, detA0, (1.17)
тогда матрица А представима в виде
A=LU, (1.18)
где L – нижняя треугольная матрица, U – верхняя треугольная матрица.

Доказательство

Доказательство проведем по методу математической индукции. Для n=1 утверждение (1.18) выполняется так как a₁₁=l₁₁u₁₁ .
Тогда пусть теорема верна для матрицы A_n-1 порядка (n-1), т.е.
A_n-1=L_n-1U_n-1 . (1.19)
Покажем, что (1.19) влечет за собой (1.18). Для этого представим матрицу А в следующем виде
А= = , (1.20)
где
А_n-1= , Z= , V= .
Дальше А будем искать в виде (1.18). Тогда имеем
A= = . (1.21)
Из (1.21) получаем
L_n-1U_n-1=A_n-1 , L_n-1Y=Z , XU_n-1=V , XY+l_nnu_nn=a_nn . (1.22)
Первое из уравнений (1.22) выполняется из предположения (1.19). Так как detA_n-10 по условию (1.17), то матрицы L_n-1 и U_n-1 обратимы. Следовательно, из второго и третьего уравнений из (1.22) однозначно определяются вектор-столбец Y и вектор-строка Х.
Таким образом, остается определить только диагональные элементы l_nn и u_nn из четвертого уравнения. Это всегда можно сделать, приписав одному из чисел l_nn , u_nn произвольное и отличное от нуля значение, тогда второе число определится однозначно. Теорема доказана.
Отметим, что эта теорема является типичной теоремой существования, где доказано, что матрица А представима в виде (1.18), но не указан алгоритм построения треугольных матриц L , U.


Теорема 1.1 [7, 9]. Если матрица А имеет только простые собственные значения, то существуют преобразования подобия, приводящие её к диагональной форме.