Численные методы линейной алгебры



Download 1,31 Mb.
bet5/29
Sana22.09.2022
Hajmi1,31 Mb.
#849803
TuriУчебное пособие
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   29
Bog'liq
Выч. мат. учебник-1111111

1.3. Основные теоремы

В этом параграфе приводятся основные теоремы, которые имеют широкое применение в численных методах решения СЛАУ.




Теорема Адамара [1]. Если для матрицы А порядка n выполняется n неравенств
akk- >0, ( ), (1.16)
то матрица А является невырожденной.


Доказательство


Пусть матрица А- вырождена, т.е. detA=0. Тогда существуют такие числа х1, х2, …, хn c максимальным xk>0, что выполняется
( ).
Также выполняется
akkxk xjxk ( ).
Далее сокращая на xk, получим
akk ( )
или akk- 0, ( ). Следовательно, при выполнении неравенств (1.16) detA0, т.е. А – невырождена. Теорема доказана.


Теорема о LU разложении [9]. Пусть все главные миноры матрицы А n-го порядка отличны от нуля, то есть
а110, 0, …, detA0, (1.17)
тогда матрица А представима в виде
A=LU, (1.18)
где L – нижняя треугольная матрица, U – верхняя треугольная матрица.


Доказательство


Доказательство проведем по методу математической индукции. Для n=1 утверждение (1.18) выполняется так как a11=l11u11 .
Тогда пусть теорема верна для матрицы An-1 порядка (n-1), т.е.
An-1=Ln-1Un-1 . (1.19)
Покажем, что (1.19) влечет за собой (1.18). Для этого представим матрицу А в следующем виде
А= = , (1.20)
где
Аn-1= , Z= , V= .
Дальше А будем искать в виде (1.18). Тогда имеем
A= = . (1.21)
Из (1.21) получаем
Ln-1Un-1=An-1 , Ln-1Y=Z , XUn-1=V , XY+lnnunn=ann . (1.22)
Первое из уравнений (1.22) выполняется из предположения (1.19). Так как detAn-10 по условию (1.17), то матрицы Ln-1 и Un-1 обратимы. Следовательно, из второго и третьего уравнений из (1.22) однозначно определяются вектор-столбец Y и вектор-строка Х.
Таким образом, остается определить только диагональные элементы lnn и unn из четвертого уравнения. Это всегда можно сделать, приписав одному из чисел lnn , unn произвольное и отличное от нуля значение, тогда второе число определится однозначно. Теорема доказана.
Отметим, что эта теорема является типичной теоремой существования, где доказано, что матрица А представима в виде (1.18), но не указан алгоритм построения треугольных матриц L , U.


Теорема 1.1 [7, 9]. Если матрица А имеет только простые собственные значения, то существуют преобразования подобия, приводящие её к диагональной форме.



Download 1,31 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   29




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2022
ma'muriyatiga murojaat qiling

    Bosh sahifa
davlat universiteti
ta’lim vazirligi
axborot texnologiyalari
maxsus ta’lim
zbekiston respublikasi
guruh talabasi
O’zbekiston respublikasi
nomidagi toshkent
o’rta maxsus
davlat pedagogika
texnologiyalari universiteti
toshkent axborot
xorazmiy nomidagi
rivojlantirish vazirligi
pedagogika instituti
Ўзбекистон республикаси
tashkil etish
haqida tushuncha
таълим вазирлиги
vazirligi muhammad
O'zbekiston respublikasi
toshkent davlat
махсус таълим
respublikasi axborot
kommunikatsiyalarini rivojlantirish
vazirligi toshkent
saqlash vazirligi
fanidan tayyorlagan
bilan ishlash
Toshkent davlat
sog'liqni saqlash
uzbekistan coronavirus
respublikasi sog'liqni
coronavirus covid
koronavirus covid
vazirligi koronavirus
risida sertifikat
covid vaccination
qarshi emlanganlik
sertifikat ministry
vaccination certificate
Ishdan maqsad
fanidan mustaqil
matematika fakulteti
o’rta ta’lim
haqida umumiy
fanlar fakulteti
pedagogika universiteti
ishlab chiqarish
moliya instituti
fanining predmeti