Численные методы линейной алгебры


О сходимости итерационных процессов для систем линейных алгебраических уравнений



Download 1,31 Mb.
bet14/29
Sana22.09.2022
Hajmi1,31 Mb.
#849803
TuriУчебное пособие
1   ...   10   11   12   13   14   15   16   17   ...   29
Bog'liq
Выч. мат. учебник-1111111

3.1.1. О сходимости итерационных процессов для систем линейных алгебраических уравнений

Теория сходимости итерационных процессов для решения СЛАУ разработана достаточно хорошо. Здесь ограничимся рассмотрением нескольких достаточных условий сходимости.




Теорема 3.1 [3]. Процесс итерации для приведенной линейной системы (3.9) сходится к единственному ее решению, если какая-нибудь каноническая норма матрицы  меньше единицы, т.е. для итерационного процесса
х(k)= +х(k-1) (k=1,2,…)
достаточное условие сходимости есть



Доказательство.
При заданном произвольном векторе х(о) , имеем последовательность приближений
х(1)= +х(о),
х(2)= +х(1),
……………
х(k)= +х(k-1).
Откуда
х(k)=(Е++2+…+k-1)+kх(o). (3.11)
Так как , то и
(Е++2+…+k-1)= ,
которое следует из [3] (см. теорема 5, стр. 250).
Следовательно,
х= =(Е-)-1. Теорема доказана.



Следствие 3.1. Процесс итерации для системы (3.9) сходится, если:
а) ,
б) ,
в) .


Следствие 3.2. Для системы уравнений

процесс итерации сходится, если выполнены условия теоремы Адамара.


3.1.2. Оценки погрешности метода простой итерации


Теорема 3.2 [3]. Пусть , тогда выполняется
, (3.12)
где х(k) – к-ое приближение, х – точное решение.


Доказательство.
Пусть х(о)=(0, 0,…, 0), тогда из (3.11) имеем
х(k)=(Е++2+…+k-1).
Точное решение
х=(Е++2+…+k-1)+(k+k+1+…).
Тогда, вычитая из первого равенства второе и оценивая нормы, получим
,
где . Тогда имеем
что и требовалось доказать.
Оценка (3.12) называется априорной оценкой погрешности и позволяет оценить погрешность к-го приближения, не проведя вычислений, используя, нормы и . Также при заданной точности вычисления  можно определить необходимое число итераций из формулы .


Теорема 3.3 [3]. Пусть , тогда имеет место неравенство
.


Доказательство.
Пусть имеем приведенную систему линейных уравнений
х=+х. (3.13)
Тогда для к-го приближения имеем
х(к)=+х(к-1). (3.14)
Из (3.13) и (3.14) получим
х(к)-х=(х(к-1)-х). (3.15)
Прибавим к левой и правой части этого равенства х(к-1) и тогда имеем
х(к-1)-х= х(к-1)(к)+(х(к-1)-х). Откуда
. (3.16)
Из (3.15) получим
, (3.17)
тогда из (3.16) и (3.17) имеем
, (3.18)
что и требовалось доказать.
Оценка (3.18) называется апостериорной оценкой погрешности, так как её получают по известной и вычисленным приближениям х(к-1) и х(к).



Download 1,31 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   ...   10   11   12   13   14   15   16   17   ...   29




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish