Численные методы линейной алгебры


О сходимости итерационных процессов для систем линейных алгебраических уравнений



Download 1,31 Mb.
bet14/29
Sana22.09.2022
Hajmi1,31 Mb.
#849803
TuriУчебное пособие
1   ...   10   11   12   13   14   15   16   17   ...   29
Bog'liq
Выч. мат. учебник-1111111

3.1.1. О сходимости итерационных процессов для систем линейных алгебраических уравнений

Теория сходимости итерационных процессов для решения СЛАУ разработана достаточно хорошо. Здесь ограничимся рассмотрением нескольких достаточных условий сходимости.




Теорема 3.1 [3]. Процесс итерации для приведенной линейной системы (3.9) сходится к единственному ее решению, если какая-нибудь каноническая норма матрицы  меньше единицы, т.е. для итерационного процесса
х(k)= +х(k-1) (k=1,2,…)
достаточное условие сходимости есть



Доказательство.
При заданном произвольном векторе х(о) , имеем последовательность приближений
х(1)= +х(о),
х(2)= +х(1),
……………
х(k)= +х(k-1).
Откуда
х(k)=(Е++2+…+k-1)+kх(o). (3.11)
Так как , то и
(Е++2+…+k-1)= ,
которое следует из [3] (см. теорема 5, стр. 250).
Следовательно,
х= =(Е-)-1. Теорема доказана.



Следствие 3.1. Процесс итерации для системы (3.9) сходится, если:
а) ,
б) ,
в) .


Следствие 3.2. Для системы уравнений

процесс итерации сходится, если выполнены условия теоремы Адамара.


3.1.2. Оценки погрешности метода простой итерации


Теорема 3.2 [3]. Пусть , тогда выполняется
, (3.12)
где х(k) – к-ое приближение, х – точное решение.


Доказательство.
Пусть х(о)=(0, 0,…, 0), тогда из (3.11) имеем
х(k)=(Е++2+…+k-1).
Точное решение
х=(Е++2+…+k-1)+(k+k+1+…).
Тогда, вычитая из первого равенства второе и оценивая нормы, получим
,
где . Тогда имеем
что и требовалось доказать.
Оценка (3.12) называется априорной оценкой погрешности и позволяет оценить погрешность к-го приближения, не проведя вычислений, используя, нормы и . Также при заданной точности вычисления  можно определить необходимое число итераций из формулы .


Теорема 3.3 [3]. Пусть , тогда имеет место неравенство
.


Доказательство.
Пусть имеем приведенную систему линейных уравнений
х=+х. (3.13)
Тогда для к-го приближения имеем
х(к)=+х(к-1). (3.14)
Из (3.13) и (3.14) получим
х(к)-х=(х(к-1)-х). (3.15)
Прибавим к левой и правой части этого равенства х(к-1) и тогда имеем
х(к-1)-х= х(к-1)(к)+(х(к-1)-х). Откуда
. (3.16)
Из (3.15) получим
, (3.17)
тогда из (3.16) и (3.17) имеем
, (3.18)
что и требовалось доказать.
Оценка (3.18) называется апостериорной оценкой погрешности, так как её получают по известной и вычисленным приближениям х(к-1) и х(к).



Download 1,31 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   ...   10   11   12   13   14   15   16   17   ...   29




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2022
ma'muriyatiga murojaat qiling

    Bosh sahifa
davlat universiteti
ta’lim vazirligi
axborot texnologiyalari
maxsus ta’lim
zbekiston respublikasi
guruh talabasi
O’zbekiston respublikasi
nomidagi toshkent
o’rta maxsus
davlat pedagogika
texnologiyalari universiteti
toshkent axborot
xorazmiy nomidagi
rivojlantirish vazirligi
pedagogika instituti
Ўзбекистон республикаси
tashkil etish
haqida tushuncha
таълим вазирлиги
vazirligi muhammad
O'zbekiston respublikasi
toshkent davlat
махсус таълим
respublikasi axborot
kommunikatsiyalarini rivojlantirish
vazirligi toshkent
saqlash vazirligi
fanidan tayyorlagan
bilan ishlash
Toshkent davlat
sog'liqni saqlash
uzbekistan coronavirus
respublikasi sog'liqni
coronavirus covid
koronavirus covid
vazirligi koronavirus
risida sertifikat
covid vaccination
qarshi emlanganlik
sertifikat ministry
vaccination certificate
Ishdan maqsad
fanidan mustaqil
matematika fakulteti
o’rta ta’lim
haqida umumiy
fanlar fakulteti
pedagogika universiteti
ishlab chiqarish
moliya instituti
fanining predmeti