Численные методы линейной алгебры

3.4. Каноническая форма двухслойных
итерационных методов

Если при решении СЛАУ

Ax=b (3.22)
итерационным методом для вычисления вектора решений x^(k+1) используется только значения предыдущей итерации x^(k), то такой метод называется двухслойным или одношаговым. Если x^(k+1) вычисляется через значения двух итерации x^(k) и x^(k-1) , то метод называется трехслойным или двухшаговым. Здесь рассмотрим только двухслойные методы.
Отметим, что важную роль в итерационных методах играет запись их в канонической форме. Для приведения (3.22) к канонической форме представим матрицу системы в виде
A=B-C, (3.23)
где В – невырожденная матрица.
Из (3.22) и (3.23) получим
x=B^-1Cx+B^-1b.
Тогда итерации можно проводить по формуле
x^(k+1)=x^(k)-B^-1(Ax^(k)-b) или
B(x^(k+1)-x^(k))+ Ax^(k)=b . (3.24)
Для ускорения сходимости итерационных методов в формулу (3.24) водят числовые параметры, которые могут зависеть от номера итерации. Тогда вместо (3.24) используется
В + Ax^(k)=b, (3.25)
где ₁, ₂,…, _k+1,… - итерационные параметры.
_k+1>0 , k=0, 1, 2,…
Если В=Е – единичный оператор, то формула (3.25) примет вид
+ Ax^(k)=b.
Отметим, что в общем случае матрица В может зависеть от номера итерации k , ниже мы предполагаем, что матрица В не зависит от номера итерации.
Итерационный метод (3.25) называется стационарным, если _k+1= не зависит от номера итерации, в противном случае – нестационарным.


3.4.1. Каноническая форма метода простой итерации

Для построения канонической формы метода простой итерации [9, 10] систему уравнений (3.22) запишем в виде

, (3.26)
где a_ii0.
Второй член правой части (3.26) будет
, (3.27)
где D=[a_ii] – диагональная матрица.
Подставляя (3.27) в (3.26) получим
,

в матричной форме
x^(k+1)-x^(k)=D^-1(b-Ax^(k))
или в канонической форме
D + Ax^(k)=b, =1, k=0, 1, 2,…