Численные методы линейной алгебры



Download 1,31 Mb.
bet6/29
Sana22.09.2022
Hajmi1,31 Mb.
#849803
TuriУчебное пособие
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   29
Bog'liq
Выч. мат. учебник-1111111

Доказательство


Расположим n – линейно независимые собственные вектора матрицы А в столбцах матрицы Т
Т= . Тогда
АТ=А = =
= =Т.
Т-1АТ=. Теорема доказана.
Отметим, что преобразование Т-1АТ называется преобразованием подобия.


Теорема 1.2 [9]. Пусть detA0, тогда матрица А разлагается в произведение
A=QR, (1.23)
где Q – ортогональная матрица, R – верхняя треугольная матрица.
Доказательство
Для доказательства необходимо найти такое преобразование, которое ортогонализирует столбы матрицы А. Пусть ai – столбцы матрицы А. Так как detA0, то система векторов ai являются линейно независимой и образует базис в пространстве Rn.
Тогда отыскание нужного преобразования сводится к задаче об ортогонализации базиса. Ортогональный базис будем строить с помощью алгоритма Грама-Шмита.
Пусть Q=(q1, q2,…, qn) – искомая матрица с ортогональными столбцами qi.
Положим a1=q1. Далее вектор а2 разложим по ортогональным векторам q1, q2:
a2=r12q1+q2 , (q1, q2)=0, r12=( q1, a2)/ (q1, q1).
Затем вектор а3 разложим по ортогональным векторам q1, q2, q3:
a3=r13q1+ r23q2+q3, (q1, q3)=0, (q2, q3)=0, r13=(q1, a3)/(q1, q1), r23=(q2, a3)/(q2, q2) и т.д.
Окончательно, получим
ai=r1iq1+ r2iq2+…+ri-1,iqi-1+qi . (1.24)
Коэффициенты разложения (1.24) определяются из условий ортогональности (qi, qj)=0 при ij :
rij=(qi, aj)/(qi, qi), iМатричная запись (1.24) будет
A=Q =QR. Теорема доказана.
Для нахождения векторов qi из (1.24) получим
qi=ai-r1iq1-r2iq2-…-ri-1,Iqi-1.


Теорема 1.3 [9]. Пусть detA0, тогда матрица А разлагается в произведение
A=QL,
где Q – ортогональная матрица, L – нижняя треугольная матрица.
Доказательство
Теорема доказывается аналогично теореме 1.2.

Download 1,31 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   29




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2022
ma'muriyatiga murojaat qiling

    Bosh sahifa
davlat universiteti
ta’lim vazirligi
axborot texnologiyalari
maxsus ta’lim
zbekiston respublikasi
guruh talabasi
O’zbekiston respublikasi
nomidagi toshkent
o’rta maxsus
davlat pedagogika
texnologiyalari universiteti
toshkent axborot
xorazmiy nomidagi
rivojlantirish vazirligi
pedagogika instituti
Ўзбекистон республикаси
tashkil etish
haqida tushuncha
таълим вазирлиги
vazirligi muhammad
O'zbekiston respublikasi
toshkent davlat
махсус таълим
respublikasi axborot
kommunikatsiyalarini rivojlantirish
vazirligi toshkent
saqlash vazirligi
fanidan tayyorlagan
bilan ishlash
Toshkent davlat
sog'liqni saqlash
uzbekistan coronavirus
respublikasi sog'liqni
coronavirus covid
koronavirus covid
vazirligi koronavirus
risida sertifikat
covid vaccination
qarshi emlanganlik
sertifikat ministry
vaccination certificate
Ishdan maqsad
fanidan mustaqil
matematika fakulteti
o’rta ta’lim
haqida umumiy
fanlar fakulteti
pedagogika universiteti
ishlab chiqarish
moliya instituti
fanining predmeti