Численные методы линейной алгебры



Download 1,31 Mb.
bet6/29
Sana22.09.2022
Hajmi1,31 Mb.
#849803
TuriУчебное пособие
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   29
Bog'liq
Выч. мат. учебник-1111111

Доказательство


Расположим n – линейно независимые собственные вектора матрицы А в столбцах матрицы Т
Т= . Тогда
АТ=А = =
= =Т.
Т-1АТ=. Теорема доказана.
Отметим, что преобразование Т-1АТ называется преобразованием подобия.


Теорема 1.2 [9]. Пусть detA0, тогда матрица А разлагается в произведение
A=QR, (1.23)
где Q – ортогональная матрица, R – верхняя треугольная матрица.
Доказательство
Для доказательства необходимо найти такое преобразование, которое ортогонализирует столбы матрицы А. Пусть ai – столбцы матрицы А. Так как detA0, то система векторов ai являются линейно независимой и образует базис в пространстве Rn.
Тогда отыскание нужного преобразования сводится к задаче об ортогонализации базиса. Ортогональный базис будем строить с помощью алгоритма Грама-Шмита.
Пусть Q=(q1, q2,…, qn) – искомая матрица с ортогональными столбцами qi.
Положим a1=q1. Далее вектор а2 разложим по ортогональным векторам q1, q2:
a2=r12q1+q2 , (q1, q2)=0, r12=( q1, a2)/ (q1, q1).
Затем вектор а3 разложим по ортогональным векторам q1, q2, q3:
a3=r13q1+ r23q2+q3, (q1, q3)=0, (q2, q3)=0, r13=(q1, a3)/(q1, q1), r23=(q2, a3)/(q2, q2) и т.д.
Окончательно, получим
ai=r1iq1+ r2iq2+…+ri-1,iqi-1+qi . (1.24)
Коэффициенты разложения (1.24) определяются из условий ортогональности (qi, qj)=0 при ij :
rij=(qi, aj)/(qi, qi), iМатричная запись (1.24) будет
A=Q =QR. Теорема доказана.
Для нахождения векторов qi из (1.24) получим
qi=ai-r1iq1-r2iq2-…-ri-1,Iqi-1.


Теорема 1.3 [9]. Пусть detA0, тогда матрица А разлагается в произведение
A=QL,
где Q – ортогональная матрица, L – нижняя треугольная матрица.
Доказательство
Теорема доказывается аналогично теореме 1.2.

Download 1,31 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   29




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish