Численные методы линейной алгебры


Глава 2. Прямые методы решения систем линейных



Download 1,31 Mb.
bet7/29
Sana22.09.2022
Hajmi1,31 Mb.
#849803
TuriУчебное пособие
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   ...   29
Bog'liq
Выч. мат. учебник-1111111

Глава 2. Прямые методы решения систем линейных

алгебраических уравнений


Итак, требуется решить систему линейных алгебраических уравнений


Ax=b. (2.1)
Заметим, что везде речь будет идти только о случае когда матрица А – квадратная, т.е. число уравнений совпадает с числом неизвестных, причем будет предполагаться, что система (2.1) имеет единственное решение.
Методы решения (2.1) можно разделить на две группы: прямые методы (в которых нахождение решения заканчивается за конечное число действий), итерационные методы (в которых находятся не само решение, а некоторая последовательность векторов х(к) такая, что ).


2.1. Метод Гаусса

Рассмотрим классический метод Гаусса [2-11]. Сначала перепишем систему (2.1) в развернутой форме


(2.2)
Пусть а110. Если а11=0, то поменяем местами первое и второе уравнения в (2.2), если а210, то поменяем местами первое и третье уравнения и т.д. Все ai1 не могут равняться нулю, так как detA0. Тогда из первого уравнения системы (2.2) будем иметь
х1+12х2+…+1nхn=1 , (2.3)
где 1j=a1j/a11 , (j>1), 1=b1/a11 .
С использованием уравнения (2.3) можно исключить х1 из всех оставшихся уравнений (2.2). В результате получим
(2.4)
где =aij-ai11j , =bi- ai11 , (i, j2).
На этом первый этап процесса исключения заканчивается. Индекс (1) в коэффициентах , показывает номер первого этапа.
Переходя к второму этапу процесса исключения разделим первое уравнение в (2.4) на при 0, тогда получим
х2+23х3+…+2nхn=2 , (2.5)
где 2j= / , (j>2), 2= / .
Далее с помощью уравнения (2.5), описанным выше способом, исключим все х2 из уравнений (2.4).
Продолжая далее, на к-ом этапе будем иметь уравнение, с помощью которого исключим к-ое неизвестное, т.е.
хк+к к+1хк+1+…+кnхn=k , (2.6)
где кj= / , (jк+1), к= / , (2.7)
= - кj , = - к , (i, jк+1). (2.8)
Собирая уравнения (2.3)-(2.6), полученных на всех этапах получим систему уравнений с верхней треугольной матрицей
х1+12х2+13х3+…+1nхn=1 ,
х2+23х3+…+2nхn=2 , (2.9)
………………………
хn=n .
Таким образом, алгоритм решения СЛАУ классическим методом Гаусса состоит из двух шагов:

  1. первый – прямой ход.

По формулам (2.7), (2.8) вычисляются коэффициенты ij и i (i, j=1,…, n).

  1. второй – обратный ход.

Определяются неизвестные xi по формуле (2.9), которую можно записать в виде
xi=i - , (i=n, n-1,…,1).


Определение 2.1. Элементы а11, , …, ,… называются ведущими элементами.



Download 1,31 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   ...   29




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2022
ma'muriyatiga murojaat qiling

    Bosh sahifa
davlat universiteti
ta’lim vazirligi
axborot texnologiyalari
maxsus ta’lim
zbekiston respublikasi
guruh talabasi
O’zbekiston respublikasi
nomidagi toshkent
o’rta maxsus
davlat pedagogika
texnologiyalari universiteti
toshkent axborot
xorazmiy nomidagi
rivojlantirish vazirligi
pedagogika instituti
Ўзбекистон республикаси
tashkil etish
haqida tushuncha
таълим вазирлиги
vazirligi muhammad
O'zbekiston respublikasi
toshkent davlat
махсус таълим
respublikasi axborot
kommunikatsiyalarini rivojlantirish
vazirligi toshkent
saqlash vazirligi
fanidan tayyorlagan
bilan ishlash
Toshkent davlat
sog'liqni saqlash
uzbekistan coronavirus
respublikasi sog'liqni
coronavirus covid
koronavirus covid
vazirligi koronavirus
risida sertifikat
covid vaccination
qarshi emlanganlik
sertifikat ministry
vaccination certificate
Ishdan maqsad
fanidan mustaqil
matematika fakulteti
o’rta ta’lim
haqida umumiy
fanlar fakulteti
pedagogika universiteti
ishlab chiqarish
moliya instituti
fanining predmeti