Численные методы линейной алгебры

2.2. Метод Гаусса с выбором главного элемента

При численных вычислениях на компьютере неизбежны ошибки округления, следовательно, есть возможность прекращения выполнения алгоритма или получение неверных результатов, если знаменатели дробей на каком-то этапе окажутся равными нулю или очень маленькими числами. Этого недостатка можно избежать, если использовать метод Гаусса с выбором главного элемента [11]. Рассмотрим систему уравнений

Запишем расширенную матрицу коэффициентов
. (2.10)
Среди элементов матрицы a_ij выберем наибольший по модулю, который называется главным элементом. Пусть им будет элемент a_ij и используя его вычислим множители
m_k= -a_kj/ a_ij для всех ki .
Строка с номером i матрицы М, содержащая главный элемент, называется главной строкой.
Далее, производим следующее действие: к каждой неглавной строке прибавляем главную строку, умноженную на соответствующий множитель m_k для этой строки. В результате получим новую матрицу, у которой j-й столбец состоит из нулей, кроме одного элемента. Отбрасывая этот столбец и главную i-ю строку, получим новую матрицу М⁽¹⁾ и повторяем ту же операцию, только с новым главным элементом, после чего получим матрицу М⁽²⁾ и т.д.
Таким образом, построим последовательность матриц М, М⁽¹⁾, М⁽²⁾,…, М^(n-1), последняя из которых представляет двучленную матрицу – строку, её также считаем главной строкой.
Затем объединяем в систему все главные строки, начиная с последней, входящей в матрицу М^(n-1). После некоторой перестановки строк они образуют треугольную матрицу эквивалентную матрице (2.10). На этом заканчивается – прямой ход.
Решив систему с треугольной матрицей, последовательно находим все неизвестные – обратный ход.


Замечание 2.1. При работе с матрицами большого порядка выбор главного элемента может оказаться достаточно трудоемкой задачей. Поэтому на практике, в качестве главного элемента, выбирают первую строку, а.в качестве главного элемента наибольший по модулю элемент этой строки.