Ряды Фурье Определение. Тригонометрическим рядом

Практически работа №
Задание 1 =_____ бал

1. 
   Ряды Фурье
   

Определение. Тригонометрическим рядом называется ряд вида

Действительные числа , называются коэффициентами ряда.
Если тригонометрический ряд сходится, то его сумма представляет собой периодическую функцию с периодом , так как функции и являются периодическими функциями с периодом .
Если – периодическая функция периода , непрерывная на отрезке или имеющая на этом отрезке конечное число точек разрыва первого рода, то коэффициенты


существуют и называются коэффициентами Фурье для функции .
Определение. Рядом Фурье для функции называется тригонометрический ряд, коэффициенты которого являются коэффициентами Фурье. Если ряд Фурье сходится к функции во всех ее точках непрерывности, то говорят, что функция разлагается в ряд Фурье.
Достаточные признаки разложимости в ряд Фурье
Теорема (Теорема Дирихле). Если функция имеет период и на отрезке непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода, и отрезок можно разбить на конечное число отрезков так, что внутри каждого из них функция монотонна, то ряд Фурье для функции сходится при всех значениях x , причем в точках непрерывности функции его сумма равна , а в точках разрыва его сумма равна ,т.е. среднему арифметическому предельных значений слева и справа.
Функция , для которой выполняются условия теоремы Дирихле, называется кусочно-монотонной на отрезке .
Теорема. Если функция имеет период , кроме того, и ее производная – непрерывные функции на отрезке или имеют конечное число точек разрыва первого рода на этом отрезке, то ряд Фурье функции сходится при всех значениях x, причем в точках непрерывности его сумма равна , а в точках разрыва она равна . Функция, удовлетворяющая условиям этой теоремы, называется кусочно-гладкой на отрезке .

1.