Ряды Фурье Определение. Тригонометрическим рядом

Ряд Фурье для четных и нечетных функций

Отметим следующие свойства четных и нечетных функций:
1)
2) Произведение двух четных или двух нечетных функций является четной функцией.
3) Произведение четной и нечетной функций – нечетная функция.
Справедливость этих свойств может быть легко доказана исходя из определения четности и нечетности функций.
Если – четная периодическая функция с периодом , удовлетворяющая условиям разложимости в ряд Фурье, то можно записать:



Таким образом, для четной функции ряд Фурье имеет вид
(1.1)
где
Ряд (1.1) называется рядом косинусов или разложением функции по косинусам кратных дуг.
Если – нечетная периодическая функция с периодом , удовлетворяющая условиям разложимости в ряд Фурье, то


и разложение в ряд Фурье для нечетной функции имеет вид
(1.2)
Ряд (1.2) называется рядом синусов или разложением функции по синусам кратных дуг.

2. 
   Ряды Фурье для функций произвольного периода
   

Ряд Фурье для функции периода , непрерывной или имеющей конечное число точек разрыва первого рода на отрезке , имеет вид
, (1,3)
где

Для четной функции произвольного периода разложение в ряд Фурье имеет вид
(1.4)
где
Для нечетной функции:
(1.5)

3. 
   Разложение в ряд Фурье непериодической функции
   

Задача разложения непериодической функции в ряд Фурье в принципе не отличается от разложения в ряд Фурье периодической функции.
Допустим, функция задана на отрезке и является на этом отрезке кусочно-монотонной. Рассмотрим произвольную периодическую кусочно-монотонную функцию c периодом совпадающую с функцией на отрезке .
Таким образом, функция была дополнена. Теперь функция может быть разложена в ряд Фурье. Сумма этого ряда во всех точках отрезка совпадает с функцией , т.е. можно считать, что функция разложена в ряд Фурье на отрезке .

Рис. 1.1
Продолжение заданной функции на отрезок (интервал) длиной 2T может быть произведено бесконечным количеством способов, поэтому суммы получившихся рядов будут различны, но они будут совпадать с заданной функцией на отрезке (рис. 1.1).