«amaliy matematika va informatika» kafedrasi

1.3 Funksiya xatoligi

Faraz qilaylik, uzluksiz differensiallanuvchi

funksiya argumentlarining taqribiy qiymatlari _{ } va ularaing absolut xatoliklari _{ } ma’lum bo’lsin. Berilgan funksiyaning limit absolyut _{ } va limit nisbiy _{ } xatoligini topishni ko‘raylik.
Bu masalani hal etish uchun quyidagi shartlar o‘rinli bo’lishligini talab etamiz:
1. Qaralayotgan sohada _{ } uzluksiz differensiallanuvchi bo’lib, xususiy hosilalari sekin o‘zgaruvchi bo’lsin.
2. Argumentlaming absolut xatoliklari aytarli katta emas, nisbiy xatoliklari yetarlicha kichik bo’lsin.
U holda Lagranj formulasiga ko‘ra

bu yerda

nuqtalarni birlashtiruvchi kesmaga tegishli qandaydir nuqta.
Funksiyaga qo‘yilgan birinchi shartlarga asosan,_{ } ni _{ } ga almashtirish mumkin:
Bundan

Endi nisbiy xatoligini chiqaramiz:

Bu formulaning quyidagicha ko‘rinishi ham ishlatishadi:

Tayanch iboralar: yo‘qotilmas xato, metod xatoligi, hisoblash xatoligi, to‘liq xatolik. Taqribiy son, absolut xatolik, nisbiy xatolik, limit absolut xatolik, limit nisbiy xatolik, ma’noli raqamlar, ishonchli raqamlar, funksiya xatoligi.

1.3 Xatoliklar nazariyasining elementlari

Usulning xatoligi aniq operatorlarni va boshlang‘ich ma’lumotlarni taqribiysiga almashtirishdan paydo bo‘ladi, masalan, integralni yig‘indiga, hosilani chekli ayirmaga, funksiyani ko‘phadga almashtirishda va cheksiz iteratsion jarayon natijasini chekli iteratsiyalarda qurib olishda paydo bo‘ladi. Bu yo‘qotish mumkin bo‘lgan xatolik bo‘lib, masalan, usul biror parametrga nisbatan quriladi, bu parametr biror limitga intilsa, u holda usulning xatoligi nolga intiladi. Hisoblash xatoligi oraliq va yakuniy natijalarni yaxlitlash natijasida paydo bo‘ladi. Shunday qilib, biror masalani kompyuterda yechish natijasining to‘la xatoligi yo‘qotib bo‘lmaydigan (matematik modelning xatoligi; dastlabki axborotlardagi xatolik) va yo‘qotib bo‘ladigan (usulning xatoligi; hisoblashlardagi yaxlitlash xatoligi) xatoliklar yig‘indisidan iborat ekan. Quyida hisoblash xatoliklariga to‘xtalib o‘tilgan.
Hozirgi zamonaviy kompyuterlar asrida bu masalaga to‘xtalib o‘tish o‘ta mayda-chuydalarga e’tiborni qaratishdek tuyiladi, aslida esa bu unday emas. Buni quyidagi ikkita misol orqali
tushuntirish mumkin: 1) Bizga ma’lumki, sinus funksiyaning qiymati Teylor form ulasi bo‘yicha quyidagicha hisoblanadi:



va agar barcha hisoblashlar absolyut aniq bajarilsa bu formula x argumentning ixtiyoriy qiymatida aniq javobni beradi. Endi x argumentning har xil qiymatlarida sinus funksiyani: ushbu qatorning 20 ta hadini ushlagan holda va maksimal aniqlikda hisoblagan holda (masalan, MS Excel dan foydalanga holda) hisoblaylik:



Jadvalning oxirgi ustunidagi natijalar hech bir qolibga si g‘maydi. Bu hisoblashlar jarayonida yig‘ilgan xatoliklar natijasi. Agar qatorning 20 ta emas, balki 100 ta
hadidan foydalansangiz ham ushbu xatoni to‘g‘rilay olmaysiz. Buni tekshirib
ko‘ring. 2) Ushbu (a – b)/c = a/c – b/c formulani a =1001; b = 1000,9999999999; c = 0,0000000003 uchun hisoblaylik. Hisoblashlarni MS Excel da maksimal aniqlik bilan bajaraylik. Tenglikning chap tarafi natijasi 3333,3333249, o‘ng tarafi natijasi 3333,333007, aniq javob 10000/3. Ko‘rinib turibdiki, har ikkala javob ham aniq javobdan farq qiladi, ayniqsa ikkinchisining farqi katta.