|
+
. . .
+
с п
ф„
(х
к) ,
k=0,
1
, . . . ,
т.
Образуем разности
rk =
т,
характеризующие отклонение в узлах
хк
точного значения функ-
152
ции
f(x)
от ее приближенного значения, полученного с помощью
обобщенного многочлена (11). Для вектора погрешностей
Г = (Ль
г ту
можно ввести ту или иную норму, например,
I т
\ '/•
/ т
\
2
=
2
(
ф
( * * ) - / м л ,
\А=о /
W o
1
Г
=
или
г | = шах
\ r k\ —
max
1
ср* — / (х*)|.
o ^ k < z m
о
(14)
(15)
Задача о наилучшем приближении функции
f(x),
заданной таб
лично, состоит в нахождении коэффициентов
с0, с1г..
.,
сп,
мини
мизирующих норму вектора
г.
В зависимости от выбора нормы по
лучим различные задачи. Так, норме (14) соответствует задача о
наилучшем среднеквадратичном приближении, а норме (15) —
задача о наилучшем равномерном приближении функции, задан
ной таблично.
Если
т=п,
то независимо от выбора нормы решение
с= (с0,
с
, , ..
.,
сп) Т
задачи о наилучшем приближении совпадает с
решением задачи интерполирования. Действительно, в этом случае
требование
1
И
1= 0
приводит к условиям
ф О О = № ) ,
/г=
0
,
т. е. к задаче интерполирования.
П р и м е р 1. Построим иаилучшее среднеквадратичное при
ближение для случая л =
1
,
т =
2
, когда заданы
fi=f(Xi),
г=
0
,
1
,
2
.
Обозначим
h0= x t—x Q, hi= x 2—x i
и будем искать обобщенный мно
гочлен ф(х) в виде
Ф ( х )
=ca + cl (x—Xi).
Тогда для
r(x)=q>(x)—f(x)
получим, что ||г|[
2
= / г(с0, Ci), где
Е(с0, ci) = (c
0
- c
1
/i
0
- /o )
2
+ (C o -/i)2+
(c0 + cihi- f 2) 2.
Точку минимума Е(с0, с,) найдем из условий
FCt — FCl
= 0,
ко
торые приводят к системе уравнений
Зс
0
+
(hL
—
hQ) cL = [а
+ /i + / 2,
{К — К) с0
+
(hi
+
h\) сх
=
h j 2
—
h j 0.
Отсюда получим
с0
= а
0/ 0
+
(1
а0
и2) / ] Т- ^
2/21
n = P
^ + ( i - P ) ^ .
hi
hts
где
а =
(^ +
К)
2
(^0
+
^1
+
hih0)
а ч
К (h0
+
hi)
2(h2
0 + h l + h M
", P =
hj
(
2
ft, + ft0)
2 (Aj + ftj + A,A„) '
Вводя обозначения
h=0,5(ht + h 2) ,
/= /,,
fx=
(/2—/,)//!,,
153
= ( Д —
fQ)lha, f-~ = {fx
—
можно записать коэффициенты
с
0
и С! в виде
с
0
= / +
С, =
Ло +
Л 1
+
hha
______
1
2 (А* +
h\
+ А Л )
. ( {2h1 + h 0) h 1f x + (2h0 + h 1) h 0f -) .
(16)
(17)'
Если /г
1
=Л
2
=/г, то
c 0 = ± ( f o + f i + h ) ,
П =
(
18
)
3
2
Л
Оценим погрешность полученного приближения. Проводя эле
ментарные выкладки, получим с учетом (16), (17), что
,
АЛА
2
,
ri = c0- f
1
= - -.
1„°-------
f -
2
,
го
— С0
C
j
/Z
q
/
о
А2 + ^ + А Л
А,
——
Л
2
d
С
2
= с
0
— с Л — /а = — ™ П-
2
rl
Отсюда имеем
I
112
2
1
9 1
1
9
" I ' / l O +
,
I Л I
=
' ' о +
r i i +
1
^
------------------ Г ! :
A2ft2da
2(A
q
+ A2-f- А Л )
(h;Y>
следовательно,
\r
= А — Ф =
A,A0d
I
h \
(2 (ft2 +
hi + hM)V°
Согласно (
6
) из § 2 существует точка £ e ( x 0, *
2
). для которой
/ - j = /"(£ ). Поэтому окончательно можно записать
АЛА
II/— Ф|| =
У
2 (A
q
+ Л2 + Atdо)
IГ (О I
В частности, па равномерной сетке, когда
h l = h 2= h ,
получим
||/ _ ф || = Р Т |П Ш ’
т. е. погрешность имеет второй порядок по
h.
4.
Сглаживание сеточных функций. Пусть имеется таблица зна
чений
{fi\i=
о
функции
f (х),
полученная, например, путем изме
рения некоторой физической величины или с помощью численных
расчетов. Может оказаться, что
f(x)
сильно меняется на отдель
ных участках. В этом случае иногда целесообразно применить
про
цедуру сглаживания,
т. е. приближенно заменить
f(x)
другой, бо
лее гладкой функцией <р(х).
Для построения сглаженных функций можно воспользоваться
среднеквадратичными приближениями, рассмотренными в преды-
154
дущем пункте. Согласно (18) получаем, что многочлен ф<*>
(х)
наилучшего среднеквадратичного приближения, построенный по
значениям
fi+u
имеет вид
Ф<«
(х)
=
h- y
+
h3- h+l
■
+
(* -
xt),
причем
Ф
(0
(*<) = -
f‘- ' ± b +J ‘*
,
/ = 1 , 2 , . . . . J V - 1 .
(19)
О
Доопределим
(р(0) (х0) = f 0, cp(N> (xN) = f N
и обозначим ф;=Ф(;) (л:«),
Z=0,
1
, . . . . IV.
Процедура сглаживания по формулам (19) состоит в замене
сеточной функции {/<}"=„ сеточной функцией W =0, определен
ной согласно (19). То, что такая замена действительно осуществ
ляет сглаживание, можно иллюстрировать примером, приведен
ным в таблице.
i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
fi
1
l
1
1
0
0
0
0
10
0
0
0
0
ф£
1
1
1
2
3
1
3
0
0
10
3
10
3
10
3
0
0
0
Здесь функция /) имеет две особенности: разрыв при 1=3 и вы
брос при
1
=
8
. Сглаживание приводит к размазыванию разрыва,
а также к размазыванию выброса и уменьшению его амплитуды.
На участках гладкости
f(x)
функция ф(х) также остается гладкой.
Для наглядности читателю предлагается построить графики функ
ций
f(x)
и ф(х).
В рассмотренном случае сглаживание свелось к
осреднению
функции
f(x)
по трем соседним точкам. Можно проводить осред
нение и по большему числу точке, например по пяти точкам, когда
2
2
ф
f = 2
5
ai ==L
/=-2
i
-2
Чтобы выяснить, почему осреднение приводит к сглаживанию, вернемся к
рассмотренному примеру. Будем считать, что
f(x) задана на равномерной сетке
шл=
{xi = ih, i= 0 , 1, .. ., N, hN = /},
причем /o = fw = 0. Сглаживание по формулам (19) приводит к функции
f i - i
+
i i + f c+i
ф,-=
3
1 = 1 , 2 ........
N—
1,
фо=флг = 0,
К
2
з
hx
(
20
)
т. e. к осреднению
f(x) по трем соседним точкам. Таким образом, можно счи
тать, что процедура осреднения представляет собой замену сеточной функции
f
155
h?
неточной функцией
Tft
где 7’« £ + - - - Л ,
Е
— единичный оператор, Л — оператор
и
второй разностной производной. Будем называть
Т оператором осреднения.
В п. 5 § 4
ч. I показано, что любую сеточную функцию f, для которой
/
o
= /
n
= 0,
можно
представить в виде разложения
N - 1
f ( x ) = ' 2 } C k p k { x ) ,
*<Е<оЛ,
(21)
k
= 1
где р,д(х) — собственные функции оператора Л:
Л
цд
(
л
:)+Я./!(Х
й
(
л
)=0.
(
22
)
Собственные функции и собственные числа оператора Л можно выписать в
явном виде (см. п. 4 § 4 ч. I):
h2
-
siir
nk
2
N
Н
(*/) =
V
J ■
nkj
N
6=1,2.......
N—
1,
j =
0,1.......
N.
Применяя к
f
оператор
T,
получим согласно (21), (22) разложение
T f ( x ) = 2
к
(23)
h?
4
nk
где
tk
= 1 —
Ak =
1
— — sin
2
— собственные значения оператора
Т.
Коэффициент Д в разложении (23) характеризует влияние оператора осред
нения
Т на
6
-ю гармонику. Для низкочастотных гармоник, когда
kjN мало,
л/г
имеем sin
2
— - ж 0 и Д близко к единице. Для больших
к. когда &/Л/« 1, имеем
2 /V
nk
sin
2
~ 1 и | Д | « 1 / 3 . Таким образом, оператор
Т
не подавляет низкочастот
ные гармоники и уменьшает амплитуду высокочастотных гармоник примерно
в три раза. Этим и объясняется эффект сглаживания.
§ 6. Наилучшие приближения в гильбертовом пространстве
1.
Постановка задачи. В п. 3 § 5 рассматривалась задача о при
ближении функции, заданной таблично. Однако задачу о прибли
жении функций можно сформулировать и в более общем виде,
а именно в терминах теории приближений в линейных нормиро
ванных пространствах.
Пусть дано линейное нормированное пространство Я, может
быть бесконечномерное, и в нем задана конечная система линейно
независимых элементов
фд^Я,
k = Q,
1,. . . ,
п.
(1)
Требуется приближенно заменить заданный элемент / е Я линей
ной комбинацией
ср=с0фоТс1ф1+ . . . + cncpn.
(2)
Элемент ф, определенный согласно (2), называется
обобщен
ным многочленом,
построенным по системе элементов (1).
156
Будем расссматривать
задачу о наилучшем приближении,
со
стоящую в том, чтобы для заданного / е Я среди всех линейных
комбинаций вида (2) найти такой обобщенный многочлен ф, для
которого отклонение
II/—
(с0фо+ с1ф1~К • • + Спфп) II
(3.)
было бы минимальным. Элемент
Ф = СоФо “Ь ПФТ + • • • + слФя|
дающий решение этой задачи, называется
элементом наилучшего
приближения.
Известно (см., например, [2]), что при весьма общих предпо
ложениях элемент наилучшего приближения существует и единст
вен. В зависимости от выбора пространства
Н,
нормы || • || и си
стемы
{ф/г}*=о
можно получить ту пли иную конкретную задачу
о наилучшем приближении.
Рассмотрим более подробно задачу о наилучшем приближении
в том случае, когда
Н —
вещественное гильбертово пространства
со скалярным произведением (/, g ) H и нормой ||/||н = У(/,
f ) H-
Ти
пичным примером гильбертова пространства является пространст
во
L2(a, Ь)
вещественных функций
f(x),
интегрируемых с квадра
том на
[а, Ь],
причем
ч
V,
f(x)\*dx]
.
(4)
Пусть задана конечная система линейно независимых элемен
тов фке Я ,
k=0,
п.
В данном случае задача о наилучшем
приближении состоит в том, чтобы для заданного элемента / е / 7
найти обобщенный многочлен
Ф = С0ф0 + С/P
j
+
Сас
Г,г,
(5)
для которого отклонение
II
f —
Ф ||н = (/ — Ф, / ~ ф)
н
(6)
является минимальным среди всех обобщенных многочленов вида
ф = С 0ф 0 + С ,ф 1+ . . , + С„ф„.
Do'stlaringiz bilan baham: |
