А. А. Самарский, А. В. Гулин

X i )
(
а
— A('_I/S) 2 (
а
—
X i - i )
d x ,
*i-l
где 
Mi t i =
s u p
| / I V (A)| .
Вычисляя интеграл, приходим окончательно к оценке
(1 9 )
166
2880

---

Погрешность составной формулы Симпсона (15) оценивается 
так:
~ а ) /И*’ 
hN = b — a,
М4= sup | / ‘V ) |.
zooU 
x^[a,b]
Отсюда видно, что формула Симпсона существенно точнее, чем 
формулы прямоугольников и трапеций. На частичном отрезке она 
имеет точность О (ft5), а на всем отрезке — О (ft4).
Приведем вывод формулы Симпсона, основанный на методе экстраполяции.
Метод экстраполяции состоит в следующем. Проведем два расчета по формуле
трапеций (
1 2
), первый расчет с шагом ft, когда вычисляется сумма
N
1=1
fi+fi-i
ft. /(■ = / 
(х[) i 
*i
=
a
-f ift.
h=(b—a)/N
,
и второй расчет — с шагом 0,5ft, когда вычисляется сумма
N
= 2
/
1
—! + /
i - % \
( fi- + fi
h
~
2
~
=
2
№ -i +
2h %
 +
fi) \
 
. 
fi-Vl
 
= / (*i 
-
0,5ft).
i=i
Используя разложение по формуле Тейлора, можно показать, что для д о ­
статочно гладкой функции 
f(x) справедливо равенство
rh= I + Clh
4 0
(h*),
где 
1 — исходный интеграл (
1
) и Cj — постоянная, не зависящая от ft. Точно
так ж е
/ Л/2= / + С1 ^ )
Отсюда получим, что
т. е. выражение
3
hpi —
1
3
h
совпадает с интегралом 
1 с точностью до величин О (А4).
В данном примере не обязательно проводить расчет на двух сетках, так как
можно построить явное выражение для суммы /л. Действительно,
4 /
Л/2
N
N
>k
= 2 ( / i - i + 2A--y, + / t) f t - 2
i=i 
i=i
f i
+
fi-i
2
ft =
N
- 2
i = i
j h
= 2 / ‘- 1 + 4/t'-% + A' ft.
Д-i + 4/r
~%+ fi ht
2
Таким образом, снова получим квадратурную формулу Симпсона.
167

---

5. 
Апостериорная оценка погрешности методом Рунге. Автома­
тический выбор шага интегрирования. 
Величина погрешности чис­
ленного интегрирования зависит как от шага сетки 
h,
так и от глад­
кости подынтегральной функции 
f(x).
Например, в оценку (11), 
наряду с /г, входит величина
M2ti=
шах 
| /"(*)!,
xG[x 
х i
]
которая может сильно меняться от точки к точке и, вообще говоря, 
заранее неизвестна. Если величина погрешности велика, то ее мож­
но уменьшить путем измельчения сетки на данном отрезке 
[х{- и
лД. Для этого прежде всего надо уметь апостериорно, т. е. после 
проведения расчета, оценивать погрешность.
Апостериорную оценку погрешности можно осуществить 
мето­
дом Рунге,
который мы поясним сначала на примере формулы тра­
пеций. Пусть отрезок 
[а, b
] разбит на частичные отрезки [х.-ь лД, 
i =
1, 2, . . . ,
N, х„ = а, xN = b,
имеющие, может быть, разную длину 
hi = Xi
—
Xt-i.
На каждом частичном отрезке применяется формула 
трапеций
xi
Л = J /
(х)d x
«
in = Ih,i.
x i
-1
Согласно (11) имеем
h - I h, i~Cihl
(20)
где константа 
с,
зависит от гладкости 
f(x)
и заранее неизвестна. 
Измельчим на отрезке [л:,_ь лД сетку в два раза и повторим расчет 
с шагом 0,5
h,
т. е. вычислим сумму