|
(х)
(X
—
X k )
(O'
(Xk )
f(Xk),
(3)
где
П
“ (*) = Г[
(х — xfi,
= Ц
(хк — х,),
i=o
получим приближенную формулу (2), где
Ск
_ Г__ PJ
J
(х-
р
(х) (О (*)
Xk)
(O'
(Хк)
■dx,
k = 0,
1, . .
п.
(4)
Таким образом,
формула
(2)
является квадратурной формулой
интерполяционного типа тогда и только тогда, когда ее коэффици
енты вычисляются по правилу
(4).
Приведем пример квадратурной формулы, не являющейся формулой ин
терполяционного типа. Рассмотрим интеграл
1
J / (*)
dx
(5)
о
и выберем в качестве узлов точки х о = 0 , д ц = 0 ,5 , лг
2
= 1 .
Квадратурная формула интерполяционного типа, построенная по заданным
узлам, совпадает с формулой Симпсона
1
j /
(х) dx ж J (/ (0) + 4 f (0,5) + / ( 1) ) .
(
6
)
О
173
Заменим теперь в (5) функцию
}(х) многочленом ф (х) наилучшего средне
квадратичного приближения первой степени. Согласно (18) из § 5 гл. 3 этот
многочлен имеет вид
Ф (*) = (/ (1) -
f
(0)) (* — 0.5) +
—
(/ (0) + / (0.5) + /(1)).
Отсюда приходим к квадратурной формуле
1
j / W
dx
я
J
(/ (0) + / (0,5) + / (1)).
(7)
о
не совпадающей с (
6
).
2.
Оценка погрешности. Получим выражение для погрешности
квадратурной формулы интерполяционного типа. Представим функ
цию
f(x)
в виде
f ( x ) = L n(x) + r n+i(x),
где
L„(x)
— интерполяционный многочлен для
f(x),
построенный по
узлам
х0, х и .. .
,
х„
и
гп+,(х)
— погрешность интерполирования. Тог
да получим
ь
ь
ь
^ Р М / М dx = ^ р (х) Ln (х) dx + j р (х) гПт1 (х) dx =
а
а
а
п
Ь
=
2
(
*k
) + j р w ' n+i
k=o
а
Таким образом, погрешность ф„+1 квадратурной формулы
(4) равна
ь
Ф
« + 1
— ^ Р
(%) Гп
+ 1
(•£)
d x ,
а
(
2
) ,
(
8
)
где
гп+1(х)
— погрешность интерполирования.
Вспоминая выражение для погрешности интерполирования (см.
(3) из § 2 гл. 3)
С п+1 (*) —
f (n+l) (£(*))
(я+ О'
получаем
Фп+1 --
I
(Я+1)1
J р
{х)
ш (х)
(£(*))
dx.
(9)
Отсюда приходим к следующей оценке погрешности квадратур
ной формулы интерполяционного типа:
М
г
(л+ 1)1 J
а
где
Мп+1—
шах | / (п+1) (х) |. Из формулы (10) видно, что справед-
хе[а,Ь]
либо
следующее утверждение.
174
Квадратурная формула интерполяционного типа, построенная
по п +
1
узлу х„, х 1г . . . , хп, является точной для любого многочлена
степени п, т. е. если f(x)
— многочлен степени п и ск
—
коэффициен
ты, вычисленные согласно
(4),
то имеет место точное равенство
?">J Р М / (*)
?">dx =
?"> J ]
?">ckf
?"> (л*).
?">(11)
a
k=o
Справедливо и обратное утверждение.
Т е о р е м а 1.
Если квадратурная формула
j
Р
(х) / (х)
dkf (**)
О 2)
a
k=o
точна для любого многочлена степени п, то она является квадра
турной формулой интерполяционного типа.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Достаточно показать, что
dh = ch,
где с*
определены согласно (4),
k — 0,
1, . . . ,
п.
Рассмотрим многочлены
Ф
а
(х)
<о(*)
( * —
x k)
о ' (
x k )
k
= 0, 1, . . . ,
п,
имеющие степень
п,
и вычислим интегралы
ь
h
= j р
(х)
Ф
а
(
х
)
dx.
а
По условию теоремы справедливы точные равенства
Поскольку
/
а
— 2
d.t(pk(xt).
1 = 0
Ф
а
(
xi
) =
0,
1,
k ^ t ,
k = l,
получаем
Ih = dk, k = 0,
1, . . . ,
n.
С другой стороны, согласно (4) имеем
ь
I
* =
<Д(-к)
(х — x k)
ш ' (
x k)
Ck.
Таким образом,
dk=ch, k = 0,
1........
п,
что и требовалось.
3.
Симметричные формулы. Для некоторых квадратурных фор
мул оценка погрешности (10) является грубой, так как она не учи
тывает симметрии формул.
Рассм отрим , например, ф орм улу С импсона
1
J /
(х) dx
« -i (/ ( - 1) + 4/ (0) + / (1))
(13)
173
для функции
f ( x ) = x \
В данном случае имеем
п =
2, / (п+1) (х) =6,
поэтому согласно (9) погрешность можно представить в виде
1
Фз = $ “ (*)
dx>
-I
где (ц(л)
= х ( х 2
— 1). Благодаря симметричному расположению узлов
имеем ф3 = 0. В то же время правая часть неравенства (10), равная
1
|
\u>{x)\dx =
—,
“1
отлична от нуля. Таким образом, оценка (10) не является точной
для формулы Симпсона.
Квадратурная формула (2) называется
симметричной,
если
1)
п
четно;
2) узлы расположены симметрично относительно середины от
резка [а,
Ь],
т. е.
а
4
-
b
а +
Ь
,
А ,
-
--------
X k
=
X n-k
-------— ,
« = 0 , 1 , .
.
., «/2;
(14)
3)
Ск = сп. к,
k = 0,
1, . . . ,
п/2.
(15)
Свойство (15) коэффициентов квадратурной формулы опреде
ляется не только симметричным расположением узлов, но и сим
метрией весовой функции р(х). Говорят, что р(х) — четная функция
относительно середины отрезка
[а, Ь],
если
», б >
для всех x e [ 0 , (
b
—
а) 12].
Л е м м а 1.
Если ск определены согласно
(4)
и п четно, то соот
ношения
(15)
являются следствием условий
(14), (16).
Д о к а з а т е л ь с т в о . Покажем сначала, что
“ (*) = П
(х — xk)
(17)
k=o
является нечетной функцией относительно точки
хп/г=(а+Ь)12.
Имеем
п/2-1
10
(х) = (х
хп/2)
Г]
(х — Хк) {X — Xn_k),
к
=о
откуда, учитывая условия (14), получим
П/2—
1
(
0
(х) = (Х — Хп_2)
Т]
[(х — хп/2)2—(хк—хп/2)'2].
(18)
k=Q
176
rt/2-l
“ (дгп/а + ^) = < Я ^а —
(xk —
*п/г)2] = — ы(хл/2 — 0.
Л—О
т. е. функция м (л) нечетна относительно точки
х п/г.
Из формулы (18) следует также, что <о'(
аг
) — четная функция относительно
точки
Хп/
2
, поэтому
w
'(
jc
„_
a
) =
co
'(
x
a).
Рассмотрим теперь разность
ь
Следовательно, при любом t
где
Р(х) =
ck — cn_k = \
р
М
ш
(
т
)
ц
(1)Ф,
а
1
(19)
(
20
)
1
(х — xk)m' (хк)
(х - хп_к) со' (xn_k)
Учитывая (19) видим, что
, ,
1
х п - x n -k
1
x k ~ x n - k
Р
(X) = "7
“ '( * * )
( X
—
x k ) ( Х — Х п - к )
( X k )
Н Х — Х п /
2
У2— (Х п /
2
~
Х ьУ2 }
откуда следует четность ц(дг) относительно точки д:п/
2
.
Таким образом, нодынтергальная функция в (20) нечетна относительно сере
дины отрезка [а,
b\,
и, следовательно, интеграл равен нулю. Лемма 1 доказана.
Покажем теперь, что наличие симметрии повышает точность
квадратурных формул. Справедлива
Т е о р е м а 2.
Пусть
р(х) —
четная функция относительно точки
(а+Ь)1
2
и пусть выполнены условия
(14),
где п
—
четное число.
Тогда, если квадратурная формула интерполяционного типа
(2)
точна для любого многочлена степени п, то она точна и для любого
многочлена степени п+
1.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Достаточно показать, что формула точи»
для многочлена
f (х) = (х—х пПу
v n / 2 ‘
= 0,5 (а + 6 ).
Поскольку
^ р
(х) (х — xn/2)n+l d x = 0
вследствие нечетности подынтегральной функции, необходимо до
казать, что
In =
2
ckf
Ы = 0.
А—
0
Представим /„ в виде суммы
i f
+
In \
где
л/
2-1
l f =
2
ck (xk- x n/2r \
k=Q
I f = 2
fe=n/2+l
177
Из условий (14) получим
Д 2 , =
2
Ck ( x n„ - x n- k) n+1
к=п/2Ы
1(п
1 = 2
Cn~i (Хп/* —
х^м = — 2
Cn- k (Хк ~~Хп^
1-
Последнее равенство справедливо в силу того, что
п
— четное число.
Таким образом, получаем
Л / 2 - 1
i n
= / ? ’ +
i f
= 2 fa
-
f a - *«//*■
fc=o
Согласно лемме 1 имеем сЛ= с„_ А, &=0, 1,
и/2—1, т. е. /„ = 0 ,
что и завершает доказательство теоремы 2.
4.
Формулы Ньютона— Котеса. Численная устойчивость ква
дратурных формул. Формулами Ньютона
—
Котеса
называются
квадратурные формулы интерполяционного типа, построенные на
равномерной сетке, когда
хк
—
xk-i = h, k =
1, 2, . . . ,
п.
Различают два типа формул Ньютона — Котеса: формулы замк
нутого типа и формулы открытого типа. В
формулах замкнутого
типа х0 = а
и
хп = Ь,
а в
формулах открытого типа
хотя бы один из
узлов
х0
или
х п
не совпадает с соответствующей граничной точкой
отрезка
[а, Ь].
Для простоты изложения рассмотрим лишь случай
формул замкнутого типа, когда
xh = a + kh, k = Q,
1........
п, hn = b
—
а.
В случае равномерной сетки можно упростить выражения для
коэффициентов квадратурных формул. В формуле (4) сделаем за
мену
x = a + th, O^Lt^in.
Простые выкладки, которые мы опускаем,
показывают, что в результате замены формула (4) примет вид
сц
=
ф
—
a) b f \
где
Ы =
Do'stlaringiz bilan baham: |
