|
2.
Сведение к алгебраической задаче о минимуме квадратично
го функционала.
Покажем, что сформулированная задача имеет
единственное решение. Перепишем равенство (6)
в
виде
П
П
1 / — Ф II
н
=
^
C k C i
( Ф
а
,
Ф
i
)
h
—
2
2
C k
(/, Ф
к)н
+11 /
( н .
(7)
k,l
—0
£=0
Пусть
А= [а ы\ —
матрица с элементами
аы= (
k , l = Q , \ , . . . , n
(8)
(/.
8) и =
J /
(х) 8
W
dx,
I / ||
l
2 = J
157
и
с,
/ — векторы,
С = (Со, С„
. . . ,
С„)
т,
f = ( f 0, f i, . . . , f n ) T,
где
fi= (f, ср{)н, i =
0, 1,. .. ,
n.
Обозначая через
П
(и,и)
= 2
UiVi
1=0
скалярные произведения векторов
и
и у, можно записать тожде
ство (7) в виде
|| / — Ф ||н —
(Ас, с)
— 2 (/, с) + 1 / ||н.
(9)
Отсюда видно, что задача о нахождении наилучшего прибли
жения в гильбертовом пространстве
Н
сводится к минимизации
функционала
F(c) = ( A c , c ) - 2 ( f , c ) ,
(10)
определенного на множестве вещественных (п+1)-мерных век
торов.
Отметим основные свойства матрицы
А.
Прежде всего,
А —
симметричная
матрица,
поскольку
ак1= (ц>к,
<р,)н= (фч
ц>к)н=ал.
Кроме того,
А —
положительно определенная матрица.
Докажем последнее свойство, исходя из тождества (7). При
/= 0 из (7) получим
(Ас, с)
= I ср ||^ =
П
2
2
k=Q
> 0
н
для любого вектора с. Предположим, что
(Ау,у) =
0 для некото
рого
у=
(j/0,
уи
. . . ,
Уп)т-
Тогда для обобщенного многочлена
ф =
У о ф о +
' /
1
ф
1
+
• ■ - +
У п ф п
П
имеем ||ф||н =
(Ау, у)
=0, следовательно, ф = 2 ^ сР*==0- Отсюда
к
= о
в силу линейной независимости элементов <р0,
ф , , . . . , ф „
получим,
что
y a=yi = . .
. = i/„ = 0. Таким образом,
(Ас,
с ) > 0 для всех
с ф
0,
т. е.
А —
положительно определенная матрица. Заметим, что поло
жительно определенными являются и матрицы всех угловых ми
норов
А.
Следующая теорема сводит проблему минимизации квадратич
ного функционала (10) к решению некоторой системы линейных
алгебраических уравнений.
Т е о р е м а 1.
Пусть А
—
симметричная положительно опреде
ленная матрица и f — заданный вектор. Тогда функционал
(10)
имеет единственную точку минимума с. Вектор с удовлетворяет
системе уравнений
Ас — }.
158
(
11
)
Д о к а з а т е л ь с т в о . Заметим прежде всего, что система (11)
имеет единственное решение, поскольку
А
— положительно опре
деленная матрица. Остается доказать, что вектор
с
минимизирует
функционал (10) тогда и только тогда, когда он является решени
ем системы (11). Докажем сначала достаточность. Для любых век
торов
v и с
имеем
F (с
+ у) =
(А (с
+ и),
с
+
v) —
2
(J, с
+
v)
=
=
(Ас, с) —
2 (/,
с)
+ 2
(Ac, v)
— 2 (/,
v)
+
(Av,
и),
т. е.
F (с
+
v) = F (с)
+ 2
(Ac - f , v ) + (Av, v).
(12)
Предположим, что
с
является решением системы (11). Тогда из
(12) получим
F ( c + v ) = F (с)
+
(Av, v).
В силу положительной определенности матрицы
А
отсюда следует
неравенство
^ ( c + f )
>F(c)
для любого ненулевого вектора
v.
Это и означает, что с —точка
минимума функционала
F(c).
Докажем необходимость условия (11). Надо показать, что если
с —точка минимума функционала (10), то выполнено уравнение
(11). Для этого воспользуемся тождеством (12), в котором поло
жим
v=Xy,
где
X
— действительное число и
у
— произвольный век
тор. Тогда получим
F ( с + Ы = F (с)
+
2Х (Ас
— /,«/) + >-2
(Ау, у).
Рассмотрим выражение в правой части этого тождества как функ
цию
X
и обозначим
g
М =
(Ау, У)
+ 2Х
(Ас
— /,
у)
+
F (с).
Поскольку с — точка минимума функционала
F(c),
при любых
у
и
X
выполняется неравенство
F(c+Xy)
^
F(c
)
, т. е.
g(X) ^ g (
0). Та
ким образом, Я=0 является точкой минимума
g(X)
и, следователь
но,
g'
(0) =0. Отсюда получаем, что
ё '
(0)
=
2
(Ас
—
f,
У) —
0
и в силу произвольности вектора
у
приходим к выводу, что
Ac—J=
=0. Теорема 1 доказана.
3.
Следствия. Более подробно систему (11) можно записать в
виде
П
2
С1
(Ф*. <Р/)я = (/. Ф
а
)
я
,
k
= 0, 1, . . . ,
п.
(13)
1=
о
Таким образом, элемент наилучшего приближения в пространстве
Н
имеет вид (5), где коэффициенты
ск, к =
0,
отыскиваются
15
»
из системы (13). Из сказанного выше ясно, что алгоритм построе
ния элемента наилучшего приближения в гильбертовом простран
стве состоит в следующем:
1) вычисление элементов
аи=
(фь ф,)н,
k, 1=0,
1,. . . ,
п,
матри
цы
А;
2) вычисление правых частей
([, cpk) H, k=0,
1
,
л;
3) решение системы (13);
П
4) вычисление суммы ф = ^
са
Ф
а
-
А=о
Как правило, каждый из этапов этого алгоритма осуществля
ется приближенно, с помощью численных методов. Например,
в случае пространства L2 необходимо уметь вычислять интегралы
ь
(фА,
[)U =
фА
(X)
/ (*)
dXt
а
что можно сделать, вообще говоря, лишь приближенно.
Оценим теперь отклонение
\\f—
ф||н, которое получается в ре
зультате использования наилучшего приближения в гильбертовом
пространстве. Докажем сначала, что справедлива
Л е м м а 1.
Если
ф —
элемент наилучшего приближения в Н, то
(/ — Ф, ф)н = 0,
(14)
т. е. погрешность
/ —ф
ортогональна элементу наилучшего прибли
жения.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Из (11) имеем
(Ас, с) = (}, с
) . Как по
казано ранее,
(Ас,
с)=||ф||н.
Далее,
Ck (f,
ф
к)н
=
( f,
^
са
Ф
а
А=о
\ А=о
Таким образом, приходим к тождеству
(/. ф)н = ||ф||н,
совпадающему с (14).
С л е д с т в и е . Если ф — элемент наилучшего приближения в
И,
то
| | / -
ф
||Ь = 1 № - «
ф
Г
н
.
(15)
Доказательство следует из тождества
< £ с_) = 2
II / — Ф |Гн = II / ||н — 2
(f,
Ф)ц + IIФ ||ц
и равенства (14).
Наиболее часто среднеквадратичные приближения использу
ются в том случае, когда система {ф*
(Ф*, Ф
дн =
I ° ’
}
а
=
о
ортонормирована, т. с.
к-ф1,
k = l.
160
( 1 6 )
Тогда система (13) решается в явном виде,
Ck=(f,(fk)H,
k = 0 , l , . . . , n ,
а погрешность приближения определяется формулой
Do'stlaringiz bilan baham: |
