Принцип равномерной ограниченности max-plus-линейных операторов Актамов Феруз Санакулович

УДК 517.98
Принцип равномерной ограниченности max-plus-линейных операторов
Актамов Феруз Санакулович
Чирчикский государственный педагогический институт

Известно, что теорема Банаха-Штейнгауза является одним из основных принципов функционального анализа. В настоящей заметке приводим вариант теоремы Банаха-Штейнгауза для max-plus-линейных операторов на пространствах с порядковой единицей.

Рассмотрим частично упорядоченные векторные пространства , . Определим операции и по правилам: и , , , , , где , а – порядковая единица пространства .
Отображение называется max-plus-линейным, если для произвольных элементов , имеем
^.
Предложение 1. Если и – пространства с порядковой единицей, то всякий max-plus-линейный оператор непрерывен.
Лемма 1. Если max-plus-линейный оператор непрерывен в нуле , то он непрерывен на всем .
Лемма 2. Для любого max-plus-линейного оператора на пространствах с порядковой единицей имеет место .
Предложение 2. Всякий max-plus-линейный оператор пространств и с порядковой единицей ограничен.
Следствие 1. Всякий max-plus-линейный оператор на пространствах с порядковой единицей непрерывен (или, то же самое, ограничен).
Пусть и – пространства с порядковыми единицами и , соответственно, а – некоторое семейство max-plus-линейных операторов . Назовем семейство равностепенно непрерывным, если для любой окрестности нуля в существует окрестность нуля в такая, что для всех . Если семейство состоит лишь одного max-plus-линейного оператора , то семейство равностепенно непрерывно, так как непрерывен , и равномерно ограничено в силу ограниченности . Следующее утверждение показывает, что любое равностепенно непрерывное семейство max-plus-линейных операторов на пространствах с порядковой единицей равномерно ограничено.
Предложение 3. Пусть и – пространства с порядковой единицей, – равностепенно непрерывное семейство max-plus-линейных операторов , а – ограниченное подмножество в . Тогда в существует такое ограниченное множество , что для любого .
Следующая теорема является вариантом теоремы Банаха-Штейнгауза для max-plus-линейных операторов.
Теорема 1. Пусть и – пространства с порядковой единицей, – некоторое семейство max-plus-линейных операторов: , а – множество всех таких точек , орбиты

которых ограничены в . Если – множество второй категории, то и семейство равностепенно непрерывно.


Литература
1. Заитов А. А. . Слабо аддитивные функционалы на топологических пространствах. //Докторская диссертация, 2011.
2. Рудин У. Функциональный анализ.  М.: Мир. 1985.  596 с.
3. Литвинов Г. Л., Маслов В. П., Шпиз Г. Б. Идемпотентный функциональ-ный анализ. Алгебраический подход. //Математические заметки. 2001. Т. 69, № 5. Стр. 758-797.