|
|
s?
- 7
h2
max | / IV (х) |,
2
х<=[а,Ь]
И Л И
|| ^ ||с(сол) ^ 1,5
1
г2м4,
где М4= max | / IV(x)|. Отсюда и из (18) получаем требуемое не-
* е [ а ,й ]
равенство (15). Лемма 1 доказана.
Перейдем к доказательству теоремы 1. Получим сначала оцен
ку (14) погрешности
f"(x) —
s' (х),
возникающей при интерполи
ровании
f(x)
кубическим сплайном
sh(x).
Рассмотрим отрезок
[xi-ly х {],
где
i
— любое из чисел 1, 2, . . . ,
N.
На этом отрезке
s"
(х) =Ci-\-d,(x—x,)
и согласно (4) имеем
s’h (х) = ci +
^ 1~х (х — Xi)
145
или
s"h
(.*) =
a d
+ (1 — ос) С/—
!,
где
а
=
h
1 — а =
h
(
20
)
Для сеточных функций
v,
определенных на сетке соЛ, обозначим
У (а) =
a v i
+ (1 —
ос)
V i - U
так что
S" (*) =
c f .
Воспользовавшись тождеством
Г(х) = ( Г Г + ( Г ( х ) - Г Г ,
■представим погрешность
f" (х) —
s"
(х)
в виде
г
м -
si (х) = if
; -
а г
+ (/" w - /о(а)-
Отсюда получаем неравенство
I Г (х) — Sh (X) I ss I (/;• - Cl)(a) I + I ( f (*) - П Г I,
(21)
справедливое для любого
х ^ [ х {-^, х{].
Оценим отдельно каждое
из двух слагаемых в правой части неравенства (21). Для первого
слагаемого, учитывая лемму
1
, имеем
(/г — Сс)(а) | = | ос
(П
—
а) +
(1
— ос) (/;_! — си ) | <
^ ОС I /"
( X ) — S h
(х)
||C(a,ft) + (1 — ОС) II /"
( X )
—
S h
(х) Цс,^) ^ j
M J l
2,
т. е.
1
( / ; - с , - Г | 5 £ - М
4
/г2.
(
22
)
4
Далее, рассмотрим выражение
(/" (*) -
Г Г =
«(/" (*) -/") + (1 - «) (/" (*) -
Г-П-
По формуле Тейлора имеем
г (х) - Г
=
ф
-
х ц г (х)
-
Г г Г г
( у ,
/"
(X) - Г = ( х - х Г Г (х)
-
{Х~ ХГ
. Г
(У,
где
^е(А \_,, Xi). Отсюда и из (20) получим
(Г
(х)
- Г Г = [ а ( х - Х
1
) + ( \ - а ) ( х - хи )] Г Г ) ~
-
1
[ « (х - х,у f ' v (I)
+
(1
- сс) (* - ХпО
2
Г
(?«)] =
= -
г - х ) Г (Ь)+ (х -
/'v (
coj
.
146
так что
< — max
[(х —
X i - i ) ( X i
— x)] {.Vf
4
(xt
—
x)
+ /И
4
(x —
x,^)} =
2
Л
Итак, второе слагаемое в правой части неравенства (21) оце
нивается следующим образом:
1 ( Г ( * ) - /0 <а’ К
^ 2- .
(23)
о
Подставляя оценки (22) и (23) в неравенство (21), получим
|
r ( x ) - s ' h( x ) \ ^ ™ f -
(24)
для любого А е
[Xi-U Xi].
Поскольку неравенство (24) справедливо
для любого i =l , 2,. . . ,
N,
из него следует оценка (14).
Докажем теперь оценку (13). Рассмотрим на отрезке [х(_,, х;]
функцию
r ( x ) = f ( x ) —sh(x).
По определению сплайна имеем
r(x{-i) = r ( x i)=0,
следовательно, найдется точка | е ( х ;-,,Х;), в ко
торой г'(£ )= 0 . Поэтому
I
г'(х)
| = | г'
(х) - г '
(|) | = | г" а )
(
х
-
d
к | г"
|
к
где
(*(_,, х;) . Таким образом,
l / '( * ) - < ( x ) i < i r ( D - s ; ( S ) |f t ,
и, учитывая (14), получим неравенство
I / ' (
X)
— sfti(x) I eg М
4
А»,
из которого следует оценка (13).
Осталось получить оценку (12). Пусть х — любая точка из ин
тервала (х;_!, х(). Введем функцию
£ ( 0 = / ( 0 - М 0 - * ( * - * < - . )
(25)
где £e[Xi-,,Xi] и /( — постоянная, выбираемая из условия g(.v )=
0
,
т. е.
у-
.
f ( x) - S h
(*)
(х — х ^ ) (х — x t)
Имеем £(X i_,)=g(X i)=g(x)=0. Поэтому найдется хотя бы одна
точка |e(X i_,,X i), в которой g " ( |) = 0 . Поскольку
g " ( t ) = f " ( t ) ~ s h( t ) - 2 K ,
получим
т. е.
ч
.ч
И ю - * ; ( а ,
/ (х) —
S h
(X) = ------ ------ (X — АМ) (X —
X i ) .
147
Отсюда и из (14) получаем неравенство
I /
(х)
— яЛ
(х)
к
и г М — s; (х) |C(W/1)
4
- sT
,
Z
4
6
которое и приводит к оценке (12). Теорема 1 доказана.
§ 5. Другие постановки задач интерполирования
и приближения функций
1. Примеры.
Во многих случаях возникает необходимость при
ближенной замены данной функции другими, более простыми
функциями. Одним из способов такой замены является интерпо
ляция алгебраическими многочленами, подробно рассмотренная в
предыдущих параграфах. Однако не всякую функцию целесооб
разно приближать алгебраическими многочленами. Отметим в
виде примеров несколько других способов интерполирования.
П р и м ер 1.
Тригонометрическая интерполяция.
Если
f(x)
—
периодическая функция с периодом /, то естественно строить при
ближения с помощью функций
ф* (*) = Щ cos —
1
-
bk
sin
—j—
,
к =
0
,
1
Таким образом,
тригонометрическая интерполяция
состоит в за
мене
f(x)
тригонометрическим многочленом
тп
(х)
=
2
ФА
(
х
)
=
а0
-f
^ (
«
й
cos
+
bk
sin
,
/ г = о
k = i
4
коэффициенты которого отыскиваются из системы уравнений
Tn(xj) = f ( x j),
/ = 1 , 2 ........
2
/
1
+
1
,
где
x0< x t<. .
.< -^2n+lJ -^2п+1 *0
П р и м е р 2.
Приближение рациональными функциями.
Пусть
значения функции
}(х)
заданы в точках x
0
< - . , < х п.
Требуется
построить функцию
Ф
а
; М
akxk + ak_vxk
1
+ . . . +
а0
х1 + b[_yx l
1
+ . . . + Ь
0
(1)
(k, l —
заданы), для которой
ф
u(xj)=f(Xj),
/ = 0, 1, . . . ,
п.
(2)
Уравнения (2) представляют собой систему из
п+
1 уравнения от
носительно
k + l+
1
неизвестного а0,
аи
. . . ,
ak, Ьа, Ьи
. . . ,
Бу
дем требовать, чтобы число уравнений равнялось числу неизвест
ных, т. е. «=& + /. Тогда придем к системе линейных уравнений 2
2
— ft
2 biX' = fjX1.,
j — 0,
1, . . .,
(3)
1=0
1=0
148
в которой неизвестными являются величины
аи
i =
0
,
и
bu
i =
0
,
1
, . . . ,
1
.
П р и м е р 3.
Дробно-линейная интерполяция.
Пусть значения
функции
f(x)
заданы в трех узлах, а именно в точках
xt- u xit xi+u
причем
xi- l < x i< x i+1.
Построим функцию
ср (х) =
aix + а
0
х + Ь0
(4)
для которой ср(х.,)=Дх^,
j = i —
1, i, г+1. Данная задача является
частным случаем задачи, сформулированной в предыдущем при
мере, когда
k = l =
1. Поэтому для определения коэффициентов
а0, аи Ьа
можно воспользоваться системой уравнений (3), которая
в данном случае примет вид
ф | +
b j
; _ i =
Х{- i f
l - i ,
а0
+
ayxi — b0fi
=
Xifi,
(5)
U
q
“ Ь
b g f i + l
=
X t + l f l + 1-
Найдем в явном виде решение этой системы. Обозначим
Ы = хс
—
xi-u
/г
;+1
=
xi+l
—
xi, Tic
= 0,5 (/i
i+1
+
K),
fx,i
=
(/‘
fc-i)/hl, fx,i
=
{fi+i
fi)lhi+
1,
fxS.i=(fx.i-fx.i)hi.
Применяя последовательное исключение неизвестных, приведем
систему (5) к треугольному виду
a0+ a 1xi — b0fi = Xifi,
ai ~ boh.i=--(xf h i ’
— bofxi.i = ( x f ) ^ j
(
6
)
Если
f-£i =
т^О,
то из (
6
) последовательно найдем
W)-
b . — -
, a i = f r
2h U
f-~ . ’ *
"
f-~
.
X X ,1
' X X
,1
^ X X , i
При проведении вычислений по этим формулам может оказаться
полезным тождество
(* /)« ./=
+
h+1 - U-
ь.,
Используя приближение с помощью рациональных функций,
необходимо следить за тем, чтобы на отрезке интерполирования
знаменатель выражения (1) не обращался в нуль. Другой опас
ностью является такой неудачный выбор узлов интерполирования,
при котором числитель выражения (
1
) делится без остатка на зна-
149
мепатель. В последнем случае дробно-линейная функция (4) вы
рождается в константу.
В качестве примера рассмотрим функцию
f ( x ) = k x 2, k¥=0.
Для
нее
f-~
и система (
6
) имеет единственное решение
Ь0 —
— (*;-1 +
Xi
+ JCi+i),
7 77
—
к {Xi~\Xi
-f-
Xi—
iXi+i
XiX [
.)),
a0
=
kxi-iXcXi
причем
aib0—a0= k ( x i+1 + xi- l) [х{( х ^ + х{-\-х1+1) + xi+iXi-i].
Следовательно, приближение
f(x)
с помощью функции (4) не
возможно вблизи точки
х = —b„=xi- l-\-xi + xi+i.
Кроме того, условие
а^о—йоФО
приводит к следующим ограничениям на расположение-
узлов интерполирования:
Xi+i + X i - ^ O ,
X i i X i - ^ - X i + X n .,) + x i+lX i - ^ 0 .
П р и м е р 4.
Двумерная интерполяция.
На плоскости
хОу
за
даны три точки
А {(х{, у {),
i= 1,2,3, не лежащие на одной прямой.
Требуется, используя значения
и{=и{х {,
г/,-) функции
и(х,у)
в этих
точках, построить аппроксимацию производных
ди/дх, ди/ду.
Для
решения этой задачи воспользуемся линейной интерполяцией, т. е.
будем считать, что
u ( x , y ) = a ( x - x l) + b ( y - y l)+c.
(7)
Тогда получим, что
ди/дх=а, ди/ду=Ь,
т. е. при интерполяции:
функции
и (х, у)
с помощью линейной функции производные заме
няются константами. Явные выражения для коэффициентов
а, Ь, с
нетрудно найти из условий интерполирования
u(xi, y l) = u i.
Дейст
вительно, из условия
и (х и у , ) = и 1
получаем, что с=ц,. Далее, ре
шая систему
а (х2 — Xj) + b (у2 — уд =--; u2 — ult
а (х3
—
a
'
j
) +
b (у3 — yj) = и3 — ии
получим
“ 2
Do'stlaringiz bilan baham: |
