|
II/ — ф||« = Ш н - 2 &
(17)
6=0
Числа
ск,
определенные согласно (16), называются
коэффици
ентами Фурье
элемента
f ^ H
по ортонормированной системе
( Ф
а
}
а
=
о
,
а обобщенный многочлен
П
ф
= 2 ^
k--=a
называется
многочленом Фурье.
Г Л А В А
4
ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ И Д И ФФЕР ЕНЦИР ОВАНИЕ
§ 1. Примеры формул численного интегрирования
1.
Введение.
В настоящем параграфе рассматриваются спосо
бы приближенного вычисления определенных интегралов
ь
I = <
\j f(x)dx,
(1)
а
основанные на замене интеграла конечной суммой
/ « = 2 с*/(**),
(2 )
6=0
где
ск
— числовые коэффициенты и
хк
— точки отрезка
[a, b], k =
= 0,
1, . . . , п.
Приближенное равенство
Ь
п
^ / (х) dx ж 2 6V (**)
a
k —Q
называется
квадратурной формулой,
а сумма вида ( 2 ) —
квадра
турной суммой.
Точки
хк
называются
узлами квадратурной форму
лы,
а числа
сн — коэффициентами квадратурной формулы.
Раз
ность
Ь
п
Чп = 5 / w dx —
2
(xk)
а
6 = о
называется
погрешностью квадратурной формулы.
Погрешность за
висит как от расположения узлов, так и от выбора коэффициентов.
6
А . А . С а м а р с к и й ,
А . В . Г у л и н
161
При оценке погрешности в приводимых ниже примерах функция
f(x)
предполагается достаточно гладкой.
Введем на
[а, Ь]
равномерную сетку с шагом
h,
т. е. множество
точек
а и = {х2=а + Иг,
i
=
0, 1
........ JV, hN = b—
а},
и представим интеграл (1) в виде суммы интегралов по частичным
отрезкам:
Ь
N
Х 1
= 2 $ f(x)dx.
(3)
a
i=i
jc
Для построения формулы численного интегрирования на всем
отрезке
[а, Ь]
достаточно построить квадратурную формулу для
интеграла
Х1
$ / (х)
dx
(4)
Х С
- 1
на частичном отрезке
[х{- ±, х
,] и воспользоваться свойством (3).
2. Формула прямоугольников.
Заменим интеграл (4) выраже
нием
f ( x ^ 42)h,
где
х^ч2 = х2
—0,5
h.
Геометрически такая замена
означает, что площадь криволи
нейной трапеции
ABCD
заменяет
ся
площадью
прямоугольника
ABC'D'
(см. рис. 5). Тогда полу
чим формулу
5 / (х) dx ~ / (лщД /г,
(5 )
Рис. 5. Геометрический смысл фор-
,
.. . „
мулы прямоугольников
которая
называется
формулой
прямоугольников на частичном
отрезке
[х,.,, х;].
Погрешность метода (5) определяется величиной
Ф г= J /
(х) dx — f
(х;_%)
h,
которую легко оценить с помощью формулы Тейлора. Действитель
но, запишем
в виде
хс
Ф < = J
(I
(-0 — /
(*<-'/,))dx
(6)
xi-1
и воспользуемся разложением
/ М = /
(Xi-V,) + ( х -
г
( * - • / , ) +
Г
& ) ,
162
где
t,i = t,i(x)
е [ х ;_ь
Xi],
Тогда из (6) получим
♦< = ] ^ ^ - П М
Л .
*£-1
Обозначая
М2,г =
шах
|/ " ( х ) |, оценим "ф,- следующим обра-
зом:
Ы ^ м а>£ j
= f М2„
*£-i
Таким образом, для погрешности формулы прямоугольников на
частичном отрезке справедлива оценка
(7)
т.
е. формула имеет погрешность О (Я3) при Я->-0.
Заметим, что оценка (7) является неулучшаемой, т. е. сущест
вует функция
f(x),
для которой (7) выполняется со знаком равен
ства. Действительно, для
f(x) = (x
—
xt- >
к) 2
имеем М2|<= 2, /(х,-./,) =
= 0 и
xi
j /
(Х) dx
—
f ( х ^ А)
Я =
M2J.
*£— 1
Суммируя равенства (5) по
i
от 1 до
N,
получим
составную фор
мулу прямоугольников
^ ( х ) й х ^ ^ П х ^ А)1г.
(8)
a
i = i
Погрешность этой формулы
¥ == j
f (х) dx
—
^ f
(х <-'/,)h
а
*=1
равна сумме погрешностей по всем частичным отрезкам,
N
N
Xir. tr— г
\
2
^ 2 ^ = 2 Г -
r&)dx.
£=l
1=1
Отсюда, обозначая
М2 —
шах |
f"(x)
|, получим
хе[а.Ь)
|¥ 1 С
м2т а
24
ft2
(b
—
а)
24
М
2i
(9)
т. е. погрешность формулы прямоугольников на всем отрезке есть
величина О (Я2).
6*
163
В этом случае говорят, что квадратурная формула имеет
вто
рой порядок точности.
З а м е ч а н и е . Возможны формулы прямоугольников и при ином распо
ложении узлов, например такие формулы:
Ь
N
Ь
N
J / w
dx
~
2
hf (xi-
1
) • 5 / м ^ ~ 2 А
/ w •
a
i= l
а
i= i
Однако из-за нарушения симметрии погрешность таких формул является вели
чиной
0( h) .
3.
Формула трапеций. На частичном отрезке эта формула име
ет вид
j
f ( x ) d x
«
*1-1
/K --i)+ /(*,)
2
(
10
)
и получается путем замены подынтегральной функции
f(x)
интер
поляционным многочленом первой степени, построенным но узлам
х{-
1
, х и
т. е. функцией
U.i (х) = - ( ( х —
Х : ^ )
f
( X i )
— (х —
Xi)
/
( X f - 0 ) .
h
Для оценки погрешности достаточно вспомнить (см. п. 1 § 2
гл. 3), что
(х — X; А (х — хЛ
/
(х)
-
Lui (х) =
-------^
-------- /" & (х)).
Отсюда получим
,
f n w
/ K'-i) + / (*f) ,
ф; = \ /
(х) d x
----------- ;--------
h —
и, следовательно,
= j
(f(x) — Lu i (x))dx =
XL-
12
(X
--
X;
, )
(X
--
X,)
~
---------
- Г Ы * ) ) * х
(П)
Оценка (11) неулучшаема, так как в ней достигается равенст
во, например, для
f(x)
=
(х
—
х{) 2.
Составная формула трапеций
имеет вид
\ f ( x ) d x z z
^ -------
-
-------
h =
а
‘=1
=
h
( 0 , 5
f0
+
/ 1
+ • ■ • +
h -г
+ 0 , 5
fN),
( 1 2 )
где
f i = f { X i ) , i
=
0 ,
1
hN = b
—
a.
164
Погрешность этой формулы оценивается следующим образом:
1 Я ^
м
2
,
= шах |
Г
(х) |.
\2
х^[а,Ь]
Таким образом, формула трапеций имеет, так же как и форму
ла прямоугольников, второй порядок точности, Ч
s = 0{Нг),
но ее по
грешность оценивается величиной в два раза большей (см. (9)).
4.
Формула Симпсона. При аппроксимации интеграла (4) заме
ним функцию
f(x)
параболой, проходящей через точки
(Xj, f (x })),
j
= i—
1,
i
—0,5, i, т. e. представим приближенно
f(x)
в виде
f(x)
~ L 2i(x),
х е [ х (_ь
Xi],
где L2i( x ) — интерполяционный многочлен Лагранжа второй сте
пени,
1
2
Л (
х
)
=
- 2 —
{ ( х
Х;_у2)
(х
— X i) / f _ t —
/г
— 2 (х — х.ч) (х — х,)
+ (х — хг) (х — x/_Vs) /;}. (13)
Проводя интегрирование, получим
xi
j ‘
L2.i(x)dx = JL{fi-l + 4fi-Vl + fi),
h = xi — Xi-1.
xi-1
Таким образом, приходим к приближенному равенству
■ч
J
/ ( X ) r f x ^
A (/[._1
+ 4/i._v,+/i))
(14)
xi
-1
которое называется
формулой Симпсона
или
формулой парабол.
На всем отрезке [а,
Ь]
формула Симпсона имеет вид
ь
N
Г/ (
х
)
1 + 4/м* + A) =
а
>'=1
= ~ [/о + /л/ + 2
(/х
+
/ 2
-+- . . . + /
j
V—
i) +
4
(/;/ +
f‘k
+ . . . +
f
Jv-vi)].
D
Чтобы не использовать дробных индексов, можно обозначить
X i = a
+ 0,5W,
fi = f ( Xi),
i = 0, 1, . . . ,
2N, hN = b—a
и записать формулу Симпсона в виде
ь
j* / (х ) dx ^
[/о +
f i N
+ 2 (/2 + / 4 + . . . + /
2
Л/-
2
) +
+ 4 (/j +
/3
+ . . . -f fzx-i)]. (15)
Прежде чем переходить к оценке погрешности формулы (14),
заметим, что она является точной для любого многочлена третьей
165
степени, т. е. имеет место точное равенство
*i
h
j / (
a
)
d x =
- ^
(/ t_x +
4 f c - Vt
+ /у),
Xi~
i
если
f ( x ) = a 0 + alx + a 2x2-\-a3x3.
Это утверждение нетрудно прове
рить непосредственно, что и предоставляется сделать читателю.
Для оценки погрешности формулы Симпсона воспользуемся
интерполяционным многочленом Эрмита. Построим многочлен
третьей степени Я 3(
а
) такой, что
Н3
(
a
.-
i
) = / (Xi-j),
И, (xc-yj = f
(
ау
-.Д,
я ; (АУ-Д = / ' (АУ_%),
Я 3 (
а
£) = / (А[).
Из § 3 гл. 3 известно, что такой многочлен существует и единствен.
Он построен в явном виде в примере из п. 2 § 3 гл. 3. Однако нам
даже не потребуется явный вид многочлена Я 3(
а
). Вспоминая, что
формула Симпсона точна для любого многочлена третьей степени,
получим
Xi
h
J
Нц(х)йх — —
(Я3(х ^ ) + 4
Я
з
(А-;_у2)
+
Я
з
(ху))
=
= 4 - ( f t_1 + 4 /l-_y1 + / i).
(16)
О
Представим теперь /(х) в виде
f{x)
= Я 3(х) + /у(х),
хеЕ[х<-и хЛ,
(17)
где г,
(
а
)
— погрешность интерполирования многочленом Эрмита
Я 3(
а
). Интегрируя (17) и учитывая (16), получим
*t
Xi
j*
f
(
a
)
dx
—
-J-
(/,•_! + 4/,_
i
/2 -f /,) = |
ri
(
a
)
dx.
(18)
*i-i
x;-i
Согласно (14) из § 3 гл. 3 имеем
П
М = —
7Гл~~ (х
—
— Xl'-%)2 (х —
24
поэтому из (18) для погрешности фу формулы (14) получаем
оценку
XI
Af •
(*
| ф £| < —
(
а
—
Do'stlaringiz bilan baham: |
