А. А. Самарский, А. В. Гулин

f ( x ) - H n (x)
А = ----------------- .
“ 00
Узлы 
хк
являются корнями кратности 
Nh
функции 
g(s), k =
= 1, 2, . . . ,
т.
Кроме того, точка 
i g
[
a
, 
b]
является корнем o(s). 
Таким образом, функция 
g(s)
имеет с учетом кратности Л
/ 0
+ ЛС +
. ..
.. , + Nm+
1 = л +
2
корня на отрезке 
[а, Ь].
По теореме Ролля про­
изводная 
g' (s)
имеет по крайней мере один нуль между двумя со­
седними корнями функции g (s). Следовательно, 
g'(s)
имеет не ме­
нее 
т 
+ 1
корня на [а, 
b
] в точках, не совпадающих ни с одной из 
точек 
х0, х и
. . . ,
хт, х.
Кроме того, 
g'(s)
имеет в точке 
хк
корень 
кратности 
Nk
—1, 
k = 0,
1, . . . ,
т.
Таким образом, 
g'(s)
имеет с уче­
том кратности не менее
(Уо— 1) +... + (Л/т— 1) -г (щ + 1) 
= N a + N , 
+... + Л/т=/г+ 1
корней на 
[а, Ъ).
Аналогично 
g "
(s) имеет не менее 
п
корней и т. д. 
Производная g (n+
1
, (s) по крайней мере один раз обращается в нуль 
на 
[а, Ь],
т. е. существует точка £ е [ а , 
Ь],
в которой g (n+1) (|) =
0
. 
Из (3) имеем
g<" + 
0
(S) =/(«+!) (5) 
(s) .
Так как сo ( s ) — многочлен степени 
п+
1 со старшим коэффициен­
том 
1
, имеем (о(л+1) (s) = ( n + 1)! Поэтому из условия g-("+1,( | ) = 0
получаем, учитывая выражение для 
К,
следующее представление 
для погрешности интерполирования:
f ( x ) - H n (x) = J ^ ^ ( x - x f ° ( x - x , ) v ' . . . ( х - х т) \
(5)
137

---

2. Пример. Пусть Хо<Х]<х
2
— точки, в которых заданы значения 
f(x0) = f 0, f(xt) = f u f'{xt) = f ‘u f(x2) = f 2.
 
Требуется построить мно­
гочлен третьей степени 
Н3(х)
такой, что
Я 3(*0) = Л>. 
Hs(Xi) = fu Н ‘3(х1
) = /I, 
Ha{xt) = f a.
(
6
)
Будем искать его в виде
На 
(х)
=
Со 
(*) 
/о 
+
С1
 
(х ) 
/х +
с
2
(
х
) / ,
-f 
bL 
(х) 
f[,
где с
0
(х), сДх), с
2
(х), 
bt (x
) — многочлены третьей степени. Ясно, 
что 
Н3(х)
будет искомым интерполяционным многочленом, если, 
потребовать
с
0
 
(х0)
 =
1
, 
Ci
 (х0) 
=
 
0
, с
2
 (х0) = О,
с
0
 (*х) =
0
, 
сг
 (*j) =
1
, с
2
 (Xj) = О,
с
0
 (**) =
0
, 
Cj (х2) =
0
, с
2
 
(х2)
 =
1
,
Со (Xi) =
0
, сх (Хх) =
0
, с
2
(xj) = О,
(Д-о) — О»
bi
(Xj) = О, 
Ьх (*а) = О,
ftl(Xx) =
1
.
Найдем многочлены третьей степени, удовлетворяющие пере­
численным требованиям. Поскольку многочлен с
0
(х) имеет кратный 
корень в точке х, и простой корень в точке х2, его можно искать в 
виде
с
0
(х) =
К
(х—х
,) 2
(х—х2) .
Из условия с
0
(х0) = 1 находим
К —
*
(*а —
 xt)2 (х0 —
 
х2)
Таким образом,
„ /.Л 
(х—х,)3(х —х2)
0 
(х0 — х2)2 
(х
0
 — х2)
(7)
Аналогично получаем
„ 
(X — Х0) (X — X,)2
с 2 \ х )
 - , 
w 
ч2 *
(х
2
 — х0) (х2 — Ху)2
(8)
b 
(* 
— х0) 
(х —
 хх) (х — х2)
1 
(Хх —
 Х2) (хх —
 х0)
(9)
Далее, многочлен сДх) будем искать в виде
Сх (х) = (х—х0) (х—х2) (ах + р),
где а и р — постоянные, подлежащие определению. Из условия 
Ci (х,) =
1
находим
axj + Р =
(*1 — 
Хо)
(*1 
— х2)
(
10
)
Условие с' ( x j = 0 приводит к уравнению
(П)
138
(х,—
х 0) 
( х —
x 2) a + ( a X i
+ p) 
(2х1—х0—х2) = 0 .

---

Из уравнений (10) и (11) находим
2 * х — * о —
Ч
а
■
(*1 —
Ч ?
(*1 —
Х 2 ) 2
(*1 — -«о) (*1 — *2)
1
+
(
2
* Х — х
0
 — х2) хх
( * 1
 — *о) 
( * 1
 — *
2
)
(* — Х0) (л- — Х2)
{X
— Хх) ( 2 * ! —
*0
— х 2) 
( * 1
— * о )
( * 1
— *
2
)
Таким образом,
C l ( х ) =
-
(X, 
— Х0) (*1— 
х2)
Искомый интерполяционный многочлен 
Н3(х)
имеет вид
(Л'о 
* l
) 3
 (лг
0
 — 
х2)
(х — X,) (
2
хх — 
* 0
 — *г) \
(* — *о) 
(х — х2)
+ И
, 
/ (-^
i
) н-
(*1 — *о) (*! — 
х2) 
j  
(Хх — Х„) (*] — Х2)
(* — *о) 
—
( х — Х 2 )
, 
( х — Хр) (х — Х
х) 2
 
f 
,
‘
, 
. . 
,„ 
/
(*2 — *о) (*2 — * l )
! 
( * 1
— * 2 )
( * 1
— А о )
7 'Ю -
(1 2 )
(13)
Согласно (5) погрешность интерполирования в случае много­
члена (13) можно записать в виде
/ М — 
н з (*) =
~
х<
>
) (х 
х
(х ~
74)
24
где 
(х0, 
х2) .
Интерполяционный многочлен Эрмита можно построить путем предельного
перехода в многочленах Лагранжа и Ньютона. Поясним это на том ж е при­
мере. Наряду с узлами х 0, 
xi,
 
х
2
введем узел 
х3
 
(отличный от х 0, х х, х 2) и по­
строим по узлам *о, 
* i ,
*
2
, 
х3
 
интерполяционный многочлен Лагранжа
L
3
 (х) =
( х
 — *о) 
( х
 — *,) 
( х
 — 
х 2)
 
^ +
L
(*3 — Х0) (Х3 — X,) (
х 3 — х 2 )
'
_ (* — Хр) (X — 
х 2 ) 
( X
—
Х 3 )
 
+
( X
 
— 
Хд) 
(х — ха) 
(х 
— х3) 
^ ^
(*1 — *о) (*1 — 
х 2 )
(Хх —*з) ' ' 1 
(*0 — *
1
) (*о — х2) (*0—*з) ' 
0
, 
( X
— *о) 
(X
 — Хх) (* — *з)
-+-----------------------------/ (*
2
> •
( х 2
 
—
Х 0 )
(х2 — 
Хх) 
(х2— 
*з)
(15)
Получим многочлен (13) путем предельного перехода в (15). Зафиксируем
точки х, х0, 
х,, х
2
и устремим 
х
3
к 
х\. Тогда последние два слагаемые перейдут
в
пределе в выражение
( х — х
х) 2
 
(х — х2)
(*о — * i)a (*о — 
х2)
/ (*о) -+
(х — х0) (х — хх)а
(х
2
 — х0) (х
2
 — хх)а
f ( x  
2
).
(16)
Первые два слагаемые в (15) объединим следующим образом:
(х — х0) ( х — х2) / 
(х — х х) 
f (х3) 
_
(х — х3) f (хх) 
\
*з — * i 
(*з — *о) (*з — 
х2) 
(хх — х0) (хх — х2) /
Поскольку при указанном предельном переходе величины х
3
—х х и
(х — хх) / (х3) 
_
(х — х3) / (хх) 
^
(*з — *о) (*з — *
2
) 
(*i — 
*
0
)
(*i — х2)
стремятся к нулю, можно раскрыть неопределенность вида 
0
/
0
, воспользовав-
139

---

шись правилом Лоииталя. Дифференцируя выражение 
(17) по х 3, получим
функцию
а ( х 3) ■-= ■
/(*.)
(*1 — *о) 
( Х у
—
х 2)
(х — Ху) (2х
3
 
— х
0
 — х2)
^2
/у
__„ 
\2
' 
(Хз>
(X
3
 — X
0
V (х
3
— х
2 ) 2
, г (х — *l) (*3 — Хр) (Х3 — Х2)
(Х
3
- Х
0
)
2
(Х
3
- Х
2)2
 
! [ХЗ>'
lim 
а (х3) ■
Хг->х
1
1
(Ху — Х<у) (Ху
= 5 - [ ‘ -
(х 
—
Х у )
(2Ху
— 
х 0 
— 
х2)
(Ху 
— Х
0 )
( Х у
—
х2)
+ ■
/ (*l) +
(х — Xj) 
f (.Ху)
(х г 
— Х0) 
(X! 
— 
Х2)
Итак, первые два слагаемые в (15) переходят в пределе в выражение
(х 
Ху\ 
(2ху 
—
х„ — х2)
(Ху — Х0) (Ху — 
Х2) 
J 
(Xi 
— 
х0) (хх — х2)
(* — *о) 
( Х — Х
2 )
[ (Ху)
+
(х — х0) (х — X,) (х — X»)
+ --------- — -------- — -------- — /' 
(Ху).
(Ху — 
х„) 
(х. — х2)
Отсюда и из (16) получаем многочлен (10).
§ 4. Интерполирование сплайнами
Интерполирование многочленом Лагранжа или Ньютона на 
всем отрезке 
[а, Ь]
с использованием большого числа узлов интер­
поляции часто приводит к плохому приближению, что объясняется 
сильным накоплением погрешностей в процессе вычислений. Кро­
ме того, из-за расходимости процесса интерполяции увеличение 
числа узлов не обязано приводить к повышению точности. Для того 
чтобы избежать больших погрешностей, весь отрезок 
[а, Ь]
разби­
вают на частичные отрезки и на каждом из частичных отрезков 
приближенно заменяют функцию /
(х)
многочленом невысокой сте­
пени (так называемая 
кусочно-полиномиальная интерполяция).
Одним из способов интерполирования на всем отрезке является 
интерполирование с помощью сплайн-функций. Сплайн-функцией 
или сплайном называют кусочно-полиномиальную функцию, опре­
деленную на отрезке 
[а, Ь]
и имеющую на этом отрезке некоторое 
число непрерывных производных.
Слово «сплайн» (английское spline) означает гибкую линейку, 
используемую для проведения гладких кривых через заданные точ­
ки плоскости. Мы не будем придавать слову «сплайн» какого-либо 
определенного технического смысла.
Преимуществом сплайнов перед обычной интерполяцией явля­
ется, во-первых, их сходимость и, во-вторых, устойчивость процесса 
вычислений.
В этом параграфе будет рассмотрен частный, но распространен­
ный в вычислительной практике случай, когда сплайн определяется 
с помощью многочленов третьей степени (кубический сплайн).