52- mavzu: Tasodifiy miqdorlar va ularning taqsimot qonunlari reja

Misol. Taqsimot qonuni quyidagicha bo‘lgan tasodifiy miqdor berilgan bo‘lsa

tasodifiy miqdor dispersiyasi hisoblansin.
Yechish: Tasodifiy miqdorning matematik kutilmasini topamiz.

Endi chetlashish kvadratini hisoblaymiz.

(2) formulaga asosan

Tasodifiy miqdor dispersiya hisoblash uchun quyidagi qulay formulani keltirib chiqamiz.

Shunday qilib, quyidagi formulani hosil qildik
(3)
Yuqorida keltirilgan misollarni (3) formula yordamida hisoblaymiz, buning uchun tasodifiy miqdorning taqsimot qonunini yozamiz.

bu yerdan

Endi (3) formulaga asosan

Bu misol hisoblash formulasi to‘g‘ri ekanligini isbotlaydi.
Dispersiya hossalari

1. 
   xossa. O‘zgarmas sonning dispersiyasi nolga teng: ДС=0.
   

Xaqiqatan,
(1)
2- xossa o‘zgarmas ko‘paytuvchini dispersiya ishorasidan tashqariga o‘zgarmas sonning kvadrati sifatida chiqarish mumkin:

Haqiqatan,
(2)
3- xossa. Ikkita o‘zaro boq‘liq bo‘lmagan tasodifiy miqdorlar yig‘indisining dispersiyasi, shu tasodifiy miqdor dispersiyasining yig‘indisiga teng:

Misol. Ikkita tasodifiy miqdorlar X va У quyidagi taqsimot qonuniga ega bo‘lish.

3-xossa to‘ri ekanligi isbotlansin.
Yechish: Ularning matematik kutilmasini hisoblaymiz

Endi va tasodifiy miqdorning taqsimot qonunini tuzamiz

va ularning matematik kutilmasini hisoblaymiz

Tasodifiy miqdorning dispersiyalarini mos ravishda

ga tengdir
.
Endi tasodifiy miqdor uchun taqsimot qonuni yozamiz

ko‘rinishga ega bo‘ladi. Ularni mos ravishda matematik kutilmalari

ga teng bo‘ladi. Bularga asosan dispersiya

Shunday qilib, 3- xossa to‘g‘ri ekanligi isbotlandi.

Natija 1. Bir nechta o‘zaro bog‘liq bo‘lmagan tasodifiy miqdorlar yig‘indisining dispersiyasi shu tasodifiy miqdorlar dispersiyalarining yig‘indisiga tengdir.
Masalan. Uchta tasodifiy miqdorlar uchun

tenglik o‘rinlidir.
Natija 2. Tasodifiy miqdor bilan o‘zgarmas son yig‘indisining dispersiyasi, tasodifiy miqdor dispersiyasiga teng, ya’ni

Bu tenglikning to‘g‘ri ekanligini misolda ko‘rsatamiz
X tasodifiy miqdor quyidagi taqsimot qonuniga ega bo‘lsin

Bularning matematik kutilmasi

Xuddi shuningdek, va larning mos ravishda matematik kutilmalari

ga teng.
Endi dispersiyalarni hisoblaymiz

Demak,