52- mavzu: Tasodifiy miqdorlar va ularning taqsimot qonunlari reja

1-xossa. O‘zgarmas sonning matematik kutilmasi o‘zgarmas sonning o‘ziga teng.
MC=C
2-xossa.Tasodifiy miqdor o‘zgarmas ko‘paytuvchiga ega bo‘lsa, shu o‘zgarmas ko‘paytuvchini matematik kutilma ishorasidan tashqariga chiqarish mumkin.
M(CX)=CMX, C-const
3-xossa. Ikkita o‘zaro bog‘liq bo‘lmagan tasodifiy miqdorlar ko‘paytmasining matematik kutilmasi, shu tasodifiy miqdorlar matematik kutilmalarining ko‘paytmasiga teng.
M(XY)=MXMY
Natija 1. Bir necha o‘zaro bog‘liq bo‘lmagan tasodifiy miqdorlar ko‘paytmasining matematik kutilmasi, shu tasodifiy miqdorlar matematik kutilmalarining ko‘paytmasiga teng.
Biz formulani n=3 uchun yozamiz va ixtiyoriy n uchun ham formula o‘rinli ekanligini ta’kidlab o‘tamiz, demak,
M(XYZ)=MXMYMZ
1-misol. O‘zaro bog‘liq bo‘lmagan X va Y tasodifiy miqdorlar quyidagi taqsimot qonuni orqali berilgan bo‘lsin.

Quyidagi M(XY)=MXMY tenglikning o‘rinli ekanligini isbotlaymiz.
Yechish: Avval tasodifiy miqdorlarning matematik kutilmalarini hisoblaymiz.

ularni ko‘paytmasini topamiz.

Endi tasodifiy miqdorlar ko‘paytmasining taqsimot qonunini tuzamiz.

Matematik kutilmasini hisoblaymiz

demak, 3-xossa o‘rinli ekan.
4-xossa. Ikkita tasodifiy miqdorlar yig‘indisining matematik kutilmasi shu tasodifiy miqdorlar matematik kutilmalarining yig‘indisiga teng.

Natija 2. Bir necha tasodifiy miqdorlar yig‘indisining matematik kutilmasi, shu tasodifiy miqdorlar matematik kutilmalarining yig‘indisiga teng. Bu yerda ham formulani n=3 uchun yozamiz. Ixtiyoriy n uchun formula o‘rinlidir.

2-misol. Tasodifiy miqdorlar bir misoldagi taqsimot qonuniga ega bo‘lsin.
4-xossani, ya’ni tenglik to‘g‘ri ekanligini isbotlaymiz.
Yechish: Bizga ma’lumki ga teng, u holda bo‘ladi.
Endi X+Y tasodifiy miqdorning taqsimot qonunini tuzamiz:

Matematik kutilmasini hisoblaymiz

Shunday qilib, 4 xossa ham to‘g‘ri ekanligi misol orqali isbotlandi.
Ta’rif 2. Diskret tasodifiy miqdorning dispersiyasi deb tasodifiy mikdor kvadratining matematik kutilmasiga, ya’ni chetlanish kvadratining matematik kutilmasiga aytiladi:

Agar tasodifiy miqdor quyidagi taqsimot qonuniga ega bo‘lsa,

U holda chetlanish kvadratining taqsimot qonuni quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi

Dispersiya quyidagi formula bilan hisoblanadi
(2)