52- mavzu: Tasodifiy miqdorlar va ularning taqsimot qonunlari reja

4-xossa. Ikkita o‘zaro bog‘liq bo‘lmagan tasodifiy miqdorlar ayirmasining dispersiyasi, shu tasodifiy miqdorlar dispersiyasining yig‘indisiga teng, ya’ni

Yuqorida keltirilgan misollardan foydalanib 4-xossani to‘g‘ri ekanligini ko‘rsataylik. X va У tasodifiy miqdorlar

ko‘rinishdagi taqsimot qonuniga eag bo‘lsin. Bundan X –У ni taqsimot qonunini yozamiz.

va bu tasodifiy miqdor dispersiyasini hisoblaymiz.

Yuqorida keltirilgan misolda dispersiyalar yig‘indasi

ga teng edi. 4- xossaning to‘g‘ri ekanligi misolda isbotlandi.
Ta’tif 3: Tasodifiy miqdor X ning k – tartibli momenti deb, tasodifiy miqdorning matematik kutilmasiga aytiladi:

xuxusan,

u holda

Tarif 4. Tasodifiy miqdorlar X ning k tartibli markaziy momenti deb, chetlashishdan (X -MX) olingan k tartibli matematik kutilmasiga aytiladi;

Xususan,

Xuddi shuningdek, quyidagi formulalarni

o‘rinli ekanligini keltirib chiqarish qiyin.

3. 
   Ta’rif. Uzluksiz tasodifiy miqdorning qabul qiladigan qiymatlari (a,b)
   

oraliqqa tegishli bo‘lsa, uning matematik kutilmasi quyidagi aniq integral bilan
(1)
aniqlanadi.
Tasodifiy miqdor qabul qiladigan qiymatlar to‘plami butun sonlar o‘qidan iborat bo‘lsa, u holda matematik kutilma quyidagi
(2)
xosmas integral orqali aniqlanadi.
(2) formula uchun xosmas integral absolyut yaqinlashuvchi bo‘lsin.
Diskret tasodifiy miqdorlar uchun keltirilgan matematik kutilmaning xossalari uzluksiz tasodifiy miqdorlar uchun ham o‘rinlidir.
Misol. Uzluksiz tasodifiy miqdor tekis qonuni bilan berilgan bo‘lsin. Uning matematik kutilmasi topilsin.
Yechish: Uzluksiz tasodifiy miqdor tekis taqsimot qonuniga ega bo‘lsa, uning zichlik funksiyasi da ga va da ga teng.
U holda

Yig‘indidagi ikki chetki integrallarga teng.
Demak, matematik kutilma tekis taqsimot qonunida (a,b) oraliqni o‘rta arifmetik qiymatiga teng ekan.
Xususan, bo‘lganda ga teng bo‘ladi.

3. 
   Ta’rif. Agar uzluksiz tasodifiy miqdorning qabul qiladigan qiymatlari
   

(a,b) oraliqqa tegishli bo‘lsa, uning dispersiyasi quyidagi aniq integral
(3)
yordamida hisoblanadi, agar tasodifiy miqdorning qabul qiladigan qiymatlar to‘plami barcha sonlar o‘qidan iborat bo‘lsa, u holda dispersiya quyidagi
(4)
integral bilan aniqlanadi.
Ko‘pincha, hisoblashga quyidagi formula qulaydir:
(5)
Diskret tasodifiy miqdorlar uchun keltirilgan dispersiya xossalari uzluksiz tasodifiy miqdorlar uchun ham o‘rinlidir.
Misol. Uzluksiz tasodifiy miqdor tekis taqsimot qonuni bilan berilgan bo‘lsin. Uning dispersiyasi topilsin.
Yechish: Yuqoridagi (5) formulaga asosan va ekanligini bilgan holda birinchi integralni hisoblaymiz:

U holda

ga teng bo‘ladi.
Dispersiyadan olingan kvadrat ildiz o‘rta kvadratik chetlanish deyiladi va
tenglik bilan aniqlanadi.
Tekis taqsimot qonuni uchun o‘rta kvadratik chetlanish:
ga teng.
Xususan, bo‘lganda, dispersiya ga , o‘rta kvadratik chetlanishi esa ga teng.
2. Har bir tajribada A hodisaning ro‘y berish ehtimoli p ga teng bo‘lsa, n ta tajribada A hodisaning k marta ro‘y berishi taqsimot qonuni orqali quyidagicha ifodalash mumnkin:

bu yerda -Bernulli formulasi bilan ifodalanadi va quyidagi tenglik o‘rinlidir.

Misol. Tanga 2 marta tashlanganda «Г» tushishlar soni X tasodifiy miqdor bo‘lsa, uning taqsimot qonuni tuzilsin.

Bu yerda

ga teng.
Yuqoridagi formuladan foydalandik.
Tanga tashlanganda «Г» tushish ehtimoli bo‘lsa, esa «Г» tushmaslik ehtimoli deb oldik. U holda taqsimot qonuni quyidagi ko‘rinishga ega bo‘ladi.

Tekshirish: 0,25+0,5+0,25=1.
Quyidagi masalalarni ko‘rib chiqaylik.
Umumiy mahsulotlar soni N ta bo‘lib, ulardan M tasi yaroqli bo‘lsin. Shu N ta to‘plamdan n ta mahsulot olingan va olingan n ta mahsulotdan m (0  m  n )tasi yaroqli mahsulot bo‘lish ehtimoli bir xil bo‘lib, tanlangan mahsulot to‘plamga qaytarilmaydi. Tasodifiy miqdorning qabul qilinadigan qiymatlar to‘plami 1, 2,…, n lardan iborat bo‘ladi.
Tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni quyidagicha bo‘ladi:

bu yerda formula bilan aniqlanadi.
Teorema. O‘zaro bog‘liq bo‘lmagan n ta tajribalar ketma-ketligida A hodisa ro‘y berishlar sonining matematik ayirmasi, tajribalar sonini har bir tajribada ro‘y berish ehtimoliga ko‘paytmasiga tengdir, ya’ni

Har bir tajribada A hodisaning ro‘y berish ehtimoli o‘zgarmas son p-ga teng bo‘lsin va n ta o‘zaro bog‘liq bo‘lmagan tajribalar ketma-ketligini o‘tkazaylik. n ta tajribada A hodisa ro‘y berishlar sonining dispersiyasi nimaga teng?
Teorema. O‘zaro bog‘liq bo‘lmagan n ta tajribalar ketma-ketligida A hodisa ro‘y berishlar sonining dispersiyasi, har bir tajribada A hodisanining ro‘y berish va bermaslik ehtimollarini tajribalarining soniga ko‘paytirilganiga teng, ya’ni

3. Har bir tajribada A hodisaning ro‘y berish ehtimoli p yetarlicha kichik bo‘lib, tajribalar soni cheksiz oshib borsin, u holda Puasson formulasiga asosan tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni quyidagi ko‘rinishga ega bo‘ladi.

Bu yerda ga teng.
Ehtimollar ga teng bo‘lib, ularning yig‘indisi birga teng, ya’ni

O‘zaro bog‘liq bo‘lmagan tajribalar ketma-ketligida A hodisaning ro‘y berish ehtimoli ga teng bo‘lsin. Quyidagi tajribalar ketma-ketligini qaraymiz. Agar A hodisa k tajribada ro‘y bersa, tajriba to‘xtatiladi va oldinga (k -1) ta tajribada A hodisa ro‘y bermagan deb qaraladi, u holda tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi

Demak, ga teng va

4. 
   Ta’rif. Agar zichlik funksiya
   

ko‘rinishda berilgan bo‘lsa, u holda uzluksiz tasodifiy miqdorlar taqsimlangan deyiladi, bu yerda lar haqiqiy sonlar.
Normal taqsimot qonuni ikkita parametr larga bog‘liq bo‘lib, ularni qanday ma’noga ega ekanligini quyida ko‘rib chiqamiz.
Agar bo‘lsa, berilgan taqsimot standart normal taqsimot qonuni deyiladi va uning zichlik funksiyasi quyidagi ko‘rinishga ega bo‘ladi:
.
Uzluksiz tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi ma’lum bo‘lsa, uning taqsimot funksiyasini topish formulasiga ko‘ra

Normal taqsimot qonuni uchun

formulaga, standart normal taqsimot uchun esa

formulaga egamiz.
II. Uzluksiz tasodifiy miqdor matematik kutilmasi formulasiga asosan normal taqsimot qonuni

ifodani yozamiz. Bu yerda almashtarish kiritamiz. U holda larni e’tiborga olib, quyidagi ifodaga kelamiz

Birinchi integral nolga teng, ikkinchi integral Puasson integrali bo‘lib u ga teng .
Shunday qilib, normal taqsimotning matematik kutilmasi a ga teng ekan, ya’ni MX=a.
Dispersiya formulasidan MX=a ekanligini etiborga olib

tenglikni yozamiz va larga asoslanib quiydagi ifodaga kelamiz

Oxirgi integralni, bo‘laklab integrallab,

.
tenglikni hosil qilamiz. Bu yerdan

ekanligi kelib chiqadi.
Shunday qilib, ikkinchi parametr normal taqsimotning o‘rta kvadratik chetlanishiga teng ekan.
Standart normal taqsimot qonuni uchun MX=0, ekanligi ravshan.
Standart normal taqsimot zichlik funksiyasi

ko‘rinishga ega bo‘lib, u juft funksiyadir.
Taqsimot funksiyasi

ko‘rinishda bo‘ladi.

Bu yerda

va
larni e’tiborga olsak,

tenglikka ega bo‘lamiz. funksiyaning qiymatlari jadval ko‘rinishda 2-ilova berilgan.
funksiyaning simmetrikligi va tenglikdan tengligi kelib chiqadi.