52- mavzu: Tasodifiy miqdorlar va ularning taqsimot qonunlari reja

III. Zichlik funksiyaning

grafigi normal egri chiziq (Gauss egri chzig‘i) deyiladi.
1. Funksiya barcha sonlar o‘qida aniqlangan

2. O‘zgaruvchi x ning barcha qiymatlarida funksiya musbat, ya’ni funksiya grafigi Ox o‘qidan yuqorida joylashgan.
3. Ox o‘qi funksiya uchun gorizontal asimptota bo‘ladi. Haqiqatan,
4. Funksiya ekstremumini tekshiramiz:

bu yerdan da ga teng, da va da . Demak, da funksiya maksimumga ega bo‘ladi. da funksiya qiymati
ga teng. to'g‘ri chiziq funksiya uchun simmetrik o‘qi hisoblanadi.
5. Ikkinchi tartibli hosilani topamiz:

Bu yerdan ko‘rinadiki, va qiymatlarda ga teng bo‘ladi va shu va nuqtalar atrofida ikkinchi tartibli hosila o‘z ishorasini o‘zgartiradi. Demak, va nuqtalar funksiyaning burilish nuqtalari bo‘ladi. Bu nuqtalarda funksiyaning qiymati ga teng .

Funksiya grafigini chizamiz.

IV. Bizga ma’lumki, uzluksiz tasodifiy miqdor zichlik funksiya bilan berilgan bo‘lsa, tasodifiy moqdor X ning qiymatlari oraliqqa tushish ehtimoli quyidagi integral yordamida

hisoblanadi.
Agar tasodifiy miqdor X normal taqsimlangan bo‘lsa, u holda uning qiymatlari oraliqqa tushish ehtimoli quyidagiga teng:
.
So‘ngi tenglikda quyidagi almashtirish bajaramiz. ,
Integral chegaralari quyidagicha o‘zgaradi. da da bularni e’tiborga olib integralni quyidagicha yozishimiz mumkin

tenglikka ega bo‘lamiz. Shunday qilib, hisoblash uchun qulay bo‘lgan quyidagi formulani hosil qildi
(1)
Bu yerda

Laplas funksiyasidan foydalandik.
Bu funksiyaning qiymatlari ilovada jadval ko‘rinishda berilgan.
Misol. Tasodifiy miqdor normal taqsimlangan bo‘lib, uning matematik kutilmasi MX=30 ga va o‘rta kvadratik chetlanishi ga teng bo‘lsin. tasodifiy miqdorning qiymatlari (10, 50) oraliqqa tushish ehtimoli topilsin.
Yechish: Masalaning shartiga ko‘ra ga teng. U holda (1) formulaga asosan

Bu yerdan tasodifiy miqdor (10; 50) oraliqqa tushish ehtimoli
.
ga teng. Jadvalga asosan bo‘ladi.
Yuqorida keltirilgan (1) formuladan foydalanib, normal taqsimlangan tasodifiy miqdor va uning matematik kutilmasi orasidagi ayirmaning absalyut quymat bo‘yicha berilgan dan kichik bo‘lish ehtimolini, ya’ni hodisaning ehtimolini hisoblash mumkin.
Haqiqatat, tenglikni yoki ko‘rinishda yozish mumkin. Endi (1) formulaga asosan

tenglikni hosil qilamiz.
Shunday qilib, hisoblashga qulay bo‘lgan
(2)
Formula kelib chiqadi. Xususan, a=0 bo‘lganda
(3)
tenglikka ega bo‘lamiz.
Hosil bo‘lgan (2) formuladan shuni aytish mumkinki, normal taqsimlangan
ikkita tasodifiy miqdorning matematik kutilmalari teng bo‘lganda, bu tasodifiy miqdorning qiymatlari oraliqqa tushush ehtimoli katta bo‘ladi, qaysi birining o‘rta kvadratik chetlanishi kichik bo‘lsa.
Misol. Korxona kichik shar shaklidagi mahsulot ishlab chiqaradi. U yaroqli deb hisoblab, sharning diametrik loyihada ko‘rsatilgan o‘lchovdan 0,7 mm kichik bo‘lsa, normal taqsimlangan va o‘rta kvadratik qiymati mm bo‘lsin. Yuz dona tayyorlangan mahsulotdan nechtasi yaroqli bo‘lishi mumkinligi topilsin.
Yechish: Chiqarilayotgan mahsulotning diametrini loyihada ko‘rsatilgan o‘lchovidan chetlanishi X tasodifiy miqdor deb olinsa, u holda ga teng bo‘ladi.
Yuqorida keltirilgan (3) formuladan ,

Shunday qilib, sharning diametrik loyihada ko‘rsatilgan 0,7 mm o‘lchovdan kichik bo‘lish ehtimoli 0,92 ga teng ekan.
Endi (2) formulada quyidagi almashtirishni bajaramiz. , u holda

formulani hosil qilamiz. Bunda t=3 desak,

bu formula “uch sigma” qoidasi deyiladi.
Demak, tasodifiy miqdorning chetlanishi absalyut qiymati bo‘yicha o‘rta kvadratik chatlanish kichik bo‘lish ehtimoli 0,9973 ga teng ekan.