52- mavzu: Tasodifiy miqdorlar va ularning taqsimot qonunlari reja

1-xossa. Taqsimot funksiyaning qiymati 0 bilan 1 orasidagi sondir;

Bu hossa ehtimolning ta’rifidan kelib chiqadi
2-xossa. Agar bo‘lsa tengsizlik o‘rinlidir.
Isbot. Agar bo‘lsa, hodisani birgalikda bo‘lgamagan hodisalar da yig‘indisi ko‘rinishida ifodalash mumkin, u holda ularning ehtimolliklarini yozish mumkin.

bu yerda

yoki
(2)
so‘ngi (1) tenglikdan yoki ekanligi kelib chiqadi. Demak taqsimot funksiya kamayuvchi bo‘lmagan funksiyadir.
Natija 1. Tasodifiy miqdor X ning (a, b) oraliqdagi qiymatlarini qabul qilish ehtimoli ikki chetki nuqtalardagi taqsimot funksiyalar qiymatlarning ayirmasiga tengdir.
Haqiqatan, agar desak, yuqoridagi formula (1) ifodaga asosan

bo‘ladi.
Natija 2. Uzluksiz tasodifiy miqdor X ning nuqtadagi qiymatni qabul qilish ehtimoli nolga teng.
Haqiqatan, agar desak, u holda (1) formulaga asosan,

va limitini hisoblasak, ekanligi kelib chiqadi.
3-xossa. Agar uzluksiz tasodifiy miqdorning qabul qiladigan qiymatlar to‘plami (a, b) oraliqqa tegishli bo‘lsa, u holda
1) agar 2) agar
Agar X uzluksiz tasodifiy miqdorning qabul qiladigan qiymatlar to‘plami barcha sonlar o‘qida joylashgan bo‘lsa, u holda

tenglik o‘rinli bo‘ladi.
Tasodifiy miqdorning qiymatlari (a,b) oraliqda bo‘lsa, taqsimot funksiyaning yuqorida keltirilgan xossalariga asoslanib, ya’ni , agar , agar va agar ekanligini hisobga olib quyidagi grafikni chuzish mumkin



1
0 a b x

Misol. X diskret tasodifiy miqdor quyidagi taqsimot qonuni

bilan berilgan bo‘lsin. Taqsimot funksiyasi topilsin va grafigi chizilsin.
Yechish: O‘zgaruvchi x<2 bo‘lganda ga, da ga,
da ga teng bo‘ladi. Demak, taqsimot funksiyani

ko‘rinishda yozish mumkin. Quyida bu funksiyaning grafigi chizilgan.

3. 
   Ta’rif. Uzluksiz tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasidan olingan birinchi tartibli hosila, ya’ni
   

tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi deyiladi.
Demak, taqsimot funksiya zichlik funksiya uchun baholsh funksiya ekan, bundan

ekanligi kelib chiqadi. Tasodifiy miqdor X ning qiymatlari (a,b) oraliqqa tushish ehtimolligini zichlik funksiyasi yordamida quyidagi tenglik orqali aniqlash mumkin.

Bu tenglikni keltirib chiqarish qiyin emas, haqiqatan

Lekin ekanligidan yuqoridagi tenglik kelib chiqadi.
Demak, zichlik funksiya berilsa, taqsimot qonunini ko‘rib chiqaylik.
Uzluksiz tasodifiy miqdor tekis taqsimlangan deyiladi, agar zichlik funksiyasi.

ko‘rinishda berilgan bo‘lsa. Xususan, a=0, b=1 bo‘lganda

ko‘rinishga ega bo‘ladi.
Misol. Tekis taqsimlangan tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi topilsin va grafigi chizilsin.
Yechish: Quyidagi

Formuladan foydalanamiz. Agar bo‘lsa

bo‘ladi. Agar bo‘sa u holda

ga teng bo‘ladi va bo‘lsa,
yig‘indidagi birinchi va uchinchi integrallar nolga teng.
Shunday qilib, taqsimot qonunini

ga teng ekanligini yuqoridagi usul bilan keltirib chiqarish mumkin.
Tekis taqsimot qonunining zichlik funksiyasi va taqsimot funksiyaning grafigini chizamiz.

Zichlik funksiyalarining xossalari.
1-xossa. Zichlik funksiya manfiy bo‘lmagan funksiyadir:

2-xossa. Zichlik funksiyadan dan gacha olingan xosmas integral birga teng: