Oʻzbekiston respublikasi oliy va oʻrta maxsus taʻlim vazirligi

1.12-misol. Agar boʻladi va shuning uchun A matritsa 3,-1 xos qiymatlarga ega. xos qiymatga mos xos vektor

tenglamalar sistemasini yechish orqali topiladi, yoki unga teng kuchli bo‘lgan quyidagi sistemani yechish orqali topiladi:


Bundan har qanday uchun,

koʻrinishdagi xos vektor topiladi. Xuddi shunday, xos qiymatga mos xos vektor

vektor bo‘lib bunda ixtiyoriy son.
Eslatma: Agar A matritsa dioganal yoki yuqori uchburchak ko‘rinishidagi matritsa boʻlsa, u holda A ning xos qiymatlari dioganal boʻylab joylashgan bo‘ladi.
1.13-misol. Agar

bo‘lsa bu matritsaning xos qiymatlari boʻladi. i xos qiymatga mos keladigan xos vektor,


tenglamalar yechimi orqali beriladi. Ya’ni,

vektor boʻlganda i xos qiymatga mos keladigan xos vektordir.

Yuqoridagi misollar shuni koʻrsatadiki, haqiqiy matritsa kompleks xos qiymat va kompleks xos vektorga ega bo‘lishi mumkin ekan. Biroq, bunday xos qiymatlar har doim kompleks qo‘shma bo‘ladi. Ya’ni, agar haqiqiy matritsaning xos qiymati boʻlsa, u holda ham xos qiymat boʻladi. Bu xossa xarakteristik ko‘phad haqiqiy koeffitsientlarga ega bo‘lganda o‘rinli.
1.5-tasdiq. Agar chiziqli akslantirishlar o‘zaro qoʻshma boʻlsa, u holda matritsalar bir xil xos qiymatlarga ega bo‘ladi.
Isbot: Bizga ma’lumki, agar A va B matritsalar o‘lchamli boʻlsa, u holda

Bundan biz larning xarakteristik koʻphadlari bir xil boʻlishi uchun quyidagilarga ega boʻlamiz:

1.3-teorema. Faraz qilaylik chiziqli akslantirish va boʻlsin. U holda o‘lchamli haqiqiy G matritsa mavjud boʻlib, matritsa quyidagi toʻrtta shakldan birini qabul qiladi, bunda barcha elementlar haqiqiy sonlar va


Natija: Aytaylik A matritsa matritsa boʻlsin. U holda haqiqiy G matritsa mavjud boʻlib, matritsa quyidagi uchta ko‘rinishdan birini qabul qiladi, bu yerda

Eslatma: Ta’kidlash kerakki, yuqoridagi natijada matritsaning xos qiymatlari diognallar bo‘ylab joylashadi, faqat xos qiymatlari bo‘lgan

ko ‘rinishdan tashqari.
Keyinchalik foydalanish uchun dioganaldan yuqorida 1lar joylashgan standard shakldagi matritsalar chiziqli qoʻshmalik bilan oʻzgartirilishi mumkinligini ta’kidlaymiz.
1.6-tasdiq. Chiziqli akslantirish
x
har qanday uchun.



ga chiziqli qo’shma bo‘ladi.


1.14-ta’rif. Agar A matritsa quyidagi

ko‘rinishda bo‘lsa unga λ -Jordan bloki deyiladi.
Ya’ni, A matritsaning dioganalida λ lar, dioganal ustida 1 lar va qolgan joyda 0 lar joylashgan.


1.15-ta’rif. Agar

boʻlsa, A matritsa Jordan shaklda deyiladi, bunda har bir -Jordan bloklari va qolgan barcha elemtrlar 0 lardan iborat.
Eslatma:

1. 
   Har qanday A matritsa uchun G kompleks matritsa mavjud boʻlib, matritsa Jordan shaklida boʻladi.
   
2. 
   Jordan bloklaridagi lar kompleks sonlar bo‘lishi mumkin.
   
3. 
   Jordan shaklidagi matritsaning xos qiymatlari dioganal boʻylab joylashgan bo‘ladi.