Oʻzbekiston respublikasi oliy va oʻrta maxsus taʻlim vazirligi

2.1-teorema. Agar boʻlsa, Kantor toʻplamidir.
Eslatma: Teoremaning tasdigʻi boʻlsa ham oʻrinli, ammo isboti juda murakkab.
Asosiy maqsadimiz 𝛬 Kantor toʻplamida aniqlangan kvadratik oila dinamikasini oʻrganishda yordami tegadigan modelni qurishdan iborat.
Dastlab bu model aniqlangan fazoni qaraymiz. Bu fazoning nuqtalari elementlari 0 yoki 1 dan iborat cheksiz ketma-ketliklar boʻladi va ushbu fazoni

kabi belgilaymiz.
Umumiy holda biz

toʻplamni ham qarashimiz mumkin. Ammo biz ketma-ketliklar fazosini qaraymiz. ketma-ketliklar fazosida metrikani quyidagicha kiritamiz, yaʻni nuqtalar orasidagi masofani

koʻrinishda aniqlaymiz.
lar yoki 0 ga, yoki 1 ga teng boʻlishi mumkin boʻlganligi sababli

ni aniqlaydigan qator doim yaqinlashuvchi boʻladi.

Masalan, ), t=(1111…) va r=(0101…) nuqtalar uchun

2.6-tasdiq. fazoda metrika boʻladi.
Isbot:

1. 
   boʻlgani uchun boʻladi va faqat va faqat s=t.
   
2. 
   boʻlgani uchun boʻladi;
   
3. 
   Har qanday lar uchun boʻlgani uchun boʻladi.
   

d metrika bilan biz fazodagi ochiq va yopiq toʻplamlarni aniqlashimiz mumkin boʻladi.
2.7-tasdiq. Agar lar uchun boʻlsa, u holda boʻladi va aksincha agar boʻlsa boʻladi.
Isboti: Faraz qilaylik lar uchun boʻlsin.

Agar biror bir uchun boʻlsa, u holda quyidagiga ega boʻlamiz

Natijada esa agar boʻlsa munosabatga ega boʻlamiz.
Isbotlangan 7-tasdiqdan shuni koʻrish mumkinki, ikkita ketma-ketlik bir-biriga yaqin joylashgan boʻlishi uchun ularning ancha hadlari bir xil boʻlishi kerak ekan.