Oʻzbekiston respublikasi oliy va oʻrta maxsus taʻlim vazirligi

2.4-tasdiq. Agar boʻlsa, u holda

1. 
   Barcha qiymatlar uchun
   
2. 
   Barcha qiymatlar uchun
   

2.5-tasdiq. Agar boʻlsa, u holda

1. 
   0 nuqta itaruvchi va tortuvchi qoʻzgʻalmas nuqtalar;
   
2. 
   B
   archa qiymatlar uchun
   

2.3-chizma. uchun grafik analiz, bunda .


holni hozircha qoldiramiz, bu holda dinamika ancha murakkab koʻrinishga ega va biz bu holni keyinroq atroflicha oʻrganib chiqamiz.
Endi, holni qaraymiz. Bu holda boʻladi va kesmaning ayrim nuqtalarida boʻladi. Bunday nuqtalar toʻplamini bilan belgilaymiz. Oson koʻrish mumkinki, markazi ½ boʻlgan ochiq interval boʻladi.
Yuqoridagi tasdiqqa koʻra agar

Endi, toʻplamni belgilaymiz. Quyidagi oʻrinli

Induksiya bilan davom ettirsak toʻplamni belgilaymiz, ya’ni shunday lar toʻplamiki, , ya’ni n+1 iteratsiyada l ni tark etadigan nuqtalardan iborat. Xuddi yuqoridagidek bu nuqtalar uchun quyidagiga ega boʻlamiz:

Demak, dinamikani toʻplamda oʻrganish qoldi. Ushbu toʻplamni 𝛬 bilan belgilab olaylik. Birinchidan 𝛬 oʻzi qanday toʻplam degan savolga javob beraylik. Yuqorida aytib oʻtganimizdek, markazi ½ boʻlgan ochiq interval boʻladi. ikkita yopiq intervaldan iborat boʻladi. Chap tomonni va oʻng tomonni bilan belgilaymiz.
funksiya da monoton oʻsuvchi va da esa monoton kamayuvchi boʻladi va boʻladi. ning bittadan intervali ga akslangani uchun toʻplam ikkita ochiq intervallar birlashmasidan iborat. toʻplam esa toʻrtta yopiq intervallar birlashmasidan iboratdir.
Ushbu jarayoni takrorlasak quyidagilarga ega boʻlamiz:
Birinchidan, oʻzaro kesishmaydigan ta ochiq intervallardan iborat ekanligini koʻrish mumkin. Natijada ta yopiq intervallardan iboratligini koʻrish mumkin.
Ikkinchidan, akslantirish har bir ushbu yopiq intervallarni l ni monoton ravishda ustiga akslantiradi. Haqiqatan ham yopiq intervallarning baʻzi birida oʻsuvchi va keyingisiga kamayuvchi boʻladi. Shunday qilib akslantirish ta “oʻrkach” ga ega boʻlishi kelib chiqadi. Bundan esa ni grafigi bissektrisani kamida marta kesib oʻtishi kelib chiqadi, yaʻni toʻplam l ning ta nuqtasidan iboratligi kelib chiqadi. Tabiiyki, 𝛬 toʻplamning strukturasi holda murakkab boʻladi.
2.1-ta’rif. Biror A toʻplam agar yopiq, toʻla bogʻlanmagan va mukammal boʻlsa, bunday toʻplamga Kantor toʻplami deyiladi. Toʻplam toʻla bogʻlanmagan deyiladi, agar bu toʻplam intervallarni oʻz ichiga olmasa. Toʻplam mukammal deyiladi, agar har bir nuqta toʻplamdagi boshqa nuqtalar uchun limit nuqta boʻlsa.