Chegaralangan yopiq to‘plamlarning garmonik o‘lchovi

Chegaralangan yopiq to‘plamlarning garmonik o‘lchovi

R. Nevanlinning chegaralangan yopiq to‘plamlarni tekislikda o‘lchash uchun yuqorida ko‘rib chiqilgan usullar bilan bir qatorda funksiyalar nazariyasida juda muhim bo‘lgan yana bir o‘lchovni kiritdi.

tekislikning chegaralangan yopiq nuqtalar to‘plami bo‘lsin va ga tegishli qandaydir to‘ldiruvchi soha.

sohadan yopiq Jordan ( bilan umumiy nuqtalarga ega bo‘lmagan) egri chizig‘ini chiqarib tashlab, shuningdek ichki qismini biz , sohaning qolgan qismini bilan belgilaymiz.

Bundan tashqari tarkibida , , chegaralari bilan , chegaralari cheklangan yopiq Jordan egri chiziqlaridan tashkil topgan sohalar ketma-ketligi mavjud bo‘lsin.

sohaning mazmuni, sohani mazmuni ularni chiqarib yuborish natijasida olingan egri chiziq va bu egri chiziq chegaralaydigan funksiya sohada garmonik va da birga va da nolga teng. Bu funksiya shubhasiz, manfiy bo‘lmagan va da 1 dan kichik bo‘ladi.

Bundan tashqari, ning chegarasida nomanfiy va ichida musbat bo‘ladigan ushbu ayirmani qaraymiz. Bu shuni anglatadiki, lar uchun kattalik ning biror qiymatidan boshlab aniqlanadi va ning ortishi bilan kamayadi. Garnak teoremasiga ko‘ra biz quyidagi xulosaga kelamiz

limit ning hamma joylarida mavjud va da garmonik funksiyani ifodalaydi. Chunki da .

ketma-ketlikning tanlanishiga bog‘liq emas, chunki agar shunday va ikkita ketma-ketliklar mavjud bo‘lsa, u holda har qanday uchun shunday ni ko‘rsatish mumkin, bundan, birinchi holda bizda tengsizlik hosil bo‘ladi, ikkinchi holda qarama-qarshi tengsizlik bo‘ladi .

miqdor soha, egri chiziq va nuqtaga nisbatan to‘plamining garmonik o‘lchovi deyiladi.

sohadan olingan nuqtalar to‘plamning nuqtalariga yaqinlashganda, garmonik o‘lchovi har doim ham 1 ga moyil emas. Bu, masalan, nuqta to‘plamning ajratilgan nuqtalari, bunday har bir nuqtada garmonik funksiya mavjud. Ammo, agar bo‘lsa, u holda sohadagi nuqta to‘plamning nuqtalariga yaqinlashganda, garmonik o‘lchovining chegara qiymatlari quyidan musbat son bilan chegaralangan. Haqiqatan ham, ichida yotgan, egri chiziqni o‘z ichiga olgan va to‘plamning biron bir nuqtasini o‘z ichiga olmagan yopiq Jordan egri chizig‘i bo‘lsin. da funksiya musbat minimumga ega, . nuqta ning tashqi tomonida joylashgan sohaning ixtiyoriy nuqtasi bo‘lsin, shunchalik katta bo‘ladiki, va da yotadi. da ushbu ifoda mavjud bo‘lsa, u holda da bo‘ladi. Bundan tashqari, uchun .

Maksimum prinsipiga ko‘ra biz tengsizlikni qaraymiz va bu barcha lar uchun yetarlicha katta. da . Bundan kelib chiqadiki, ga yaqinlashganda ning barcha chegara qiymatlari dan katta bo‘ladi.

Berilgan to‘plamining garmonik o‘lchovi qachon nolga teng bo‘ladi va qachon musbat bo‘ladi degan savol tug‘iladi. garmonik o‘lchovning nolga tengligi yoki tengsizligi sohaning barcha nuqtalari uchun bir vaqtning o‘zida sodir bo‘ladi, chunki agar u ning bir nuqtasida nolga teng bo‘lsa, u holda maksimum prinsipiga ko‘ra u ning hamma joyida nolga tengdir.

Ammo xuddi shu holat da tanlangan egri chiziqlari uchun ham mavjuddir. Darhaqiqat, egri chizig‘i uchun va shu turdagi boshqa egri chiziq bo‘lsin.